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| Aufgabe | Gegeben sind die drei Ebenen E1, E2 und E3, deren Lage im Raum von einem reellen Paramter a abhängt:
E1: 2x -y +3z = a+2
E2: 2y -2z = -2
E3: ax +(2-a)z = a
Für welche Werte von a schneiden sich die drei Ebenen in genau einem Punkt? |
Hey Leute,
bräuchte mal bitte eure Hilfe bei der Aufgabe. Mein Lösungsansatz ist folgender
Das LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ a & 0 & 2-a } \pmat{ x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \pmat{ a+2 \\ -2 \\a}
[/mm]
Die Frage ist nun ja, für welches a existiert eine eindeutige Lösung? Habe also die Determinante von A ausgerechnet (Sarrus).
Als Ergebnis kommt: det(A)= 8-8a raus. Heißt das nun, dass a = 1 sein muss, das sich die Ebenen in einem Punkt schneiden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die drei Ebenen E1, E2 und E3, deren Lage im
> Raum von einem reellen Paramter a abhängt:
>
> E1: 2x -y +3z = a+2
> E2: 2y -2z = -2
> E3: ax +(2-a)z = a
>
> Für welche Werte von a schneiden sich die drei Ebenen in
> genau einem Punkt?
> Hey Leute,
>
> bräuchte mal bitte eure Hilfe bei der Aufgabe. Mein
> Lösungsansatz ist folgender
>
> Das LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix [mm]cp_A(\lambda) = det(\lambda E_n - A)[/mm]
> geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 3 \\
0 & 2 & -2 \\
a & 0 & 2-a } \pmat{ x \\
y \\
z}[/mm]
> = [mm]\pmat{ a+2 \\
-2 \\
a}[/mm]
>
> Die Frage ist nun ja, für welches a existiert eine
> eindeutige Lösung? Habe also die Determinante von A
> ausgerechnet (Sarrus).
>
> Als Ergebnis kommt: det(A)= 8-8a raus. Heißt das nun, dass
> a = 1 sein muss, das sich die Ebenen in einem Punkt
> schneiden?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, sondern:
wenn die [mm] Det\not=0 [/mm] ist, also [mm] a\not=1, [/mm] ist die Lösung eindeutig.
Gruß v. Angela
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Hallo,
> >
> > .
> >
> > Nein, sondern:
> >
> > wenn die [mm]Det\not=0[/mm] ist, also [mm]8\not=1,[/mm] ist die Lösung
> > eindeutig.
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Hallo Angela, du meinst natürlich [mm]a \not= 1[/mm] 
In der Tat!
Danke, ich lassen den Blödsinn gleich verschwinden.
Gruß v. Angela
>
> Glie
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Ok, dann ist die Lösung nicht eindeutig? Habe es nach Gauss ausgerechnet und bekomme raus, das es für alle [mm] \IR [/mm] \ {-7} lösbar ist.
Nun folgender Ansatz: ich will ja den Punkt bekommen, an dem die Ebenen sich schneiden. Dazu würde ich jetzt z.B. E1 mit E2 schneiden (gleichsetzen), E2 mit E3 und E3 mit E1. Die drei Schnittgeraden die ich erhalte schneide ich wieder und erhale so den Punkt.
Stimmt der Ansatz so, oder gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 02.11.2010 | | Autor: | glie |
> Ok, dann ist die Lösung nicht eindeutig? Habe es nach
> Gauss ausgerechnet und bekomme raus, das es für alle [mm]\IR[/mm] \
> {-7} lösbar ist.
???
Das versteh ich jetzt gar nicht.
Das Gleichungssystem Ax=b ist eindeutig lösbar, wenn [mm] $det(A)\not=0$
[/mm]
Mir ist aber gerade aufgefallen, dass die Determinante 8-6a ist.
Also ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, wenn [mm] $a\not=\bruch{4}{3}$ [/mm] ist.
Also ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, wenn [mm] $a\not=1$ [/mm] ist.
Gruß Glie
>
> Nun folgender Ansatz: ich will ja den Punkt bekommen, an
> dem die Ebenen sich schneiden. Dazu würde ich jetzt z.B.
> E1 mit E2 schneiden (gleichsetzen), E2 mit E3 und E3 mit
> E1. Die drei Schnittgeraden die ich erhalte schneide ich
> wieder und erhale so den Punkt.
>
> Stimmt der Ansatz so, oder gibt es eine einfachere
> Möglichkeit?
>
> Danke!
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Bist du dir sicher das du dich nicht verrechnet hast? ich komme für die Determinante auf:
(2*2*(2-a)) + ((-1)*(-2)*a)-(a*3*2) = 8-8a
Ok,ich weiß ja jetzt das die Lösung eindeutig ist für a \ {-7}, aber wie komme ich jetzt auf den Punkt?
Liebe Grüße und ein Dank an Dich!
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> Bist du dir sicher das du dich nicht verrechnet hast? ich
> komme für die Determinante auf:
>
> (2*2*(2-a)) + ((-1)*(-2)*a)-(a*3*2) = 8-8a
Hallo,
ja, det=8-8a ist richtig.
> Ok,ich weiß ja jetzt das die Lösung eindeutig ist für a \ {-7}, aber wie komme ich jetzt auf den Punkt?
???
Was soll a \ [mm] \{7\} [/mm] bedeuten?
Wir hatten doch ausgerechnet, daß das System für alle [mm] a\in \IR [/mm] \ [mm] \{8\} [/mm] eindeutig lösbar ist.
Für a=8 ist Dein Gleichungssystem entweder nicht lösbar oder es gibt mehr als eine Lösung. Das müßte man prüfen, wenn man sich dafür interessiert.
Sei also jetzt [mm] a\not=8.
[/mm]
Die Lösung findest Du, indem Du "ganz nomal" das Gleichungssystem nach den Variablen x,y,z auflöst. Die Lösung wird natürlich von a abhängen.
Hinter "ganz normal" verbirgt sich irgendeins der Verfahren zur Lösung linearer Gleichungen, welches Du kannst, vielleicht das Gaußverfahren oder das Determinantenverfahren mit der Regel v. Sarrus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Mi 03.11.2010 | | Autor: | glie |
Ja passt...ist auch viel schöner so
Sorry da wars wohl schon zu spät.
Gruß Glie
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