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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 26.08.2007 | | Autor: | hussdl |
| Aufgabe | | Man gebe ein homogenes LGS an, dessen Lösungsvektorraum L durch [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 3}, \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 4},\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 5} [/mm] aufgespannt wird. Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin. Mein naiver Ansatz über [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] scheint nicht zu funktionieren, da ich nur eine Formelorgie erhalte. Gibt es einen (eleganten) allgemeinen Ansatz um solche Aufgaben zu lösen?
Gruß Dani
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> Man gebe ein homogenes LGS an, dessen Lösungsvektorraum L
> durch [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 3}, \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 4},\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 5}[/mm]
> aufgespannt wird. Bestimmen Sie den Rang der
> Koeffizientenmatrix.
>
>Gibt es einen (eleganten) allgemeinen Ansatz um
> solche Aufgaben zu lösen?
Hallo,
ob's so sonderlich elegant ist, weiß ich nicht, aber es funktioniert.
Wenn der Lösungsraum des GSs durch obige Vektoren aufespannt wird, heißt das ja, daß sich jede Lösung [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t}
[/mm]
schreiben läßt als [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t}=\alpha \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \beta\vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 4} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 5}.
[/mm]
Dies liefert Dir 4 Gleichungssysteme. Eliminiere aus diesen [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma, [/mm] übrig behältst Du ein GS, in welchem nur noch x,y,z,t vorkommen, und welches von sämtlichen [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t} [/mm] mit [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t}=\alpha \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \beta\vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 4} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 5} [/mm] gelöst wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 26.08.2007 | | Autor: | hussdl |
Okay, wir wissen also, dass A [mm] \cdot \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 } \cdot \pmat{ \alpha \\ \beta \\ \gamma } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist, wie man daraus vier Gleichungssysteme erhält. Könntest du mir da nochmal auf die Sprünge helfen? 
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> Okay, wir wissen also, dass A [mm]\cdot \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 } \cdot \pmat{ \alpha \\ \beta \\ \gamma }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist, wie man daraus
> vier Gleichungssysteme erhält. Könntest du mir da nochmal
> auf die Sprünge helfen?
Das Gleichungssystem erhältst Du direkt aus dieser Überlegung:
> Wenn der Lösungsraum des GSs durch obige Vektoren aufgespannt wird, heißt das ja, daß sich jede
> Lösung $ [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t} [/mm] $
> schreiben läßt als $ [mm] \vektor{x \\ y\\z\\t}=\alpha \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 3} [/mm] $ + $ [mm] \beta\vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 4} [/mm] $ + $ [mm] \gamma \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 5}. [/mm] $
Du hast hier dann
[mm] x=\alpha*1+\beta*1+\gamma*1
[/mm]
y=...
z=...
t=...,
und aus diesem GS wirfst Du die griechischen Buchstaben heraus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 So 26.08.2007 | | Autor: | hussdl |
Alles klar, habe verstanden (juhuu)
Ich danke Dir, Angela!
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