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| Aufgabe | Im Schweinebetrieb Grunzkow soll ein neues Mastfutter durch Mischung der beiden Futtermittel [mm] FU_1 [/mm] und [mm] FU_2 [/mm] hergestellt werden, von denen beliebige Mengen relativ preosgünstig beschafft werden können. Ein Kilogramm des Mischfutters soll mindestens 120g eines Nährstoffes N, aber höchstens 80g des Stoffes [mm] S_1 [/mm] und höchstens 60g des Stoffes [mm] S_2 [/mm] enthalten. Die Stoffgehalte sowie die Preise der Futtermittel sind in der Tabelle angegeben:
[mm] \vmat{ & Gehalt-an-N-[g/kg] & Gehalt-an-S_1-[g/kg] & Gehalt-an-S_2-[g/kg] & Preis-[Euro/kg] \\ FU_1 & 160 & 40 & 75 & 1,20 \\ FU_2 & 80 & 100 & 30 & 0,8 }
[/mm]
Täglich werden 10.000kg von diesem Mischfutter benötigt.
Welche Mengen von [mm] FU_1 [/mm] und [mm] FU_2 [/mm] werden täglich benötigt, wenn die Mischung minimale Kosten verursachen soll? Formuliere ein Lineares Optimierungsproblem! |
Hallo allerseits,
mit der Tabelle oben musste ich etwas kreativ sein, um sie zu erstellen :p Ich wollte mal nachfragen, ob mein LOP so richtig formuliert wurde.
[mm] Z=1,20x_1 [/mm] + [mm] 0,8x_2 \to [/mm] min!
[mm] 160x_1 [/mm] + [mm] 80x_2 \ge [/mm] 120
[mm] 40x_1 [/mm] + [mm] 100x_2 \le [/mm] 80
[mm] 75x_1 [/mm] + [mm] 30x_2 \le [/mm] 60
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 10.000
[mm] x_1,x_2 \ge [/mm] 0
Danke schon mal!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
da die ersten (Un-)Gleichungen alle auf ein kg bezogen sind, muss die letzte [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 1 lauten.
Ansonsten ok.
Gruß Sax.
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> Hi,
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> da die ersten (Un-)Gleichungen alle auf ein kg bezogen
> sind, muss die letzte [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 1 lauten.
> Ansonsten ok.
>
> Gruß Sax.
Danke für die Antwort!
Könnten Sie mir dann aber noch mal genauer erklären, warum das gleich 1 sein muss? Mir ist dieser Sachverhalt noch nicht ganz klar...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
es ist immer hilfreich (wenn nicht sogar notwendig), sich zu Beginn einer Lösung klar zu machen, wofür [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2 [/mm] eigentlich stehen sollen.
Gruß Sax.
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Hm, die Variablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] müssten die Menge pro kg vom [mm] FU_1 [/mm] und [mm] FU_2 [/mm] aussagen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn du die jeweilige Menge in kg meinst - ok, das kann man so machen.
Dann stimmt die letzte Gleichung, aber die drei davor müssen auf der rechten Seite mit 10000 multipliziert werden.
Gruß Sax.
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> Hi,
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> wenn du die jeweilige Menge in kg meinst - ok, das kann man
> so machen.
> Dann stimmt die letzte Gleichung, aber die drei davor
> müssen auf der rechten Seite mit 10000 multipliziert
> werden.
>
> Gruß Sax.
Das ist mir jetzt fast schon peinlich nachzufragen, aber ich habe immer noch Verständnisprobleme mit der letzten Nebenbedingung. Alle anderen haben doch als Mengenangabe [g/kg]. Es werden 10.000kg jeden Tag benötigt an Futtermischung. Warum muss es dann [mm] x_1+x_2=1 [/mm] lauten? *verzeifelt*
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Di 19.03.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> > Hi,
> >
> > wenn du die jeweilige Menge in kg meinst - ok, das kann man
> > so machen.
> > Dann stimmt die letzte Gleichung, aber die drei davor
> > müssen auf der rechten Seite mit 10000 multipliziert
> > werden.
> >
> > Gruß Sax.
>
>
> Das ist mir jetzt fast schon peinlich nachzufragen, aber
> ich habe immer noch Verständnisprobleme mit der letzten
> Nebenbedingung. Alle anderen haben doch als Mengenangabe
> [g/kg]. Es werden 10.000kg jeden Tag benötigt an
> Futtermischung. Warum muss es dann [mm]x_1+x_2=1[/mm] lauten?
> *verzeifelt*
Peinlich ist hier überhaupt nichts!
Zur Irritation trägt sicher auch bei, dass du die Einheiten gänzlich unterschlägst - zugegeben, es spart Arbeit, kann dann allerdings auch zu Verständnisproblemen führen.
Sehen wir uns nur die 1. Ungleichung an, so wie du sie aufgestellt hast:
[mm]160x_1+80x_2\ge{120}[/mm]
Und nun schreiben wir die Einheiten dabei:
[mm] 160\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}\cdot{}x_1 + 80\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}\cdot{}x_2 \ge 120\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}} [/mm]
So wie ich dich verstanden habe, bezeichnest du [mm]x_1[/mm] bzw. [mm]x_2[/mm] als absolute Menge von [mm]FU_1[/mm] bzw. [mm]FU_2[/mm]. Das würde allerdings bedeuten, dass die Einheit in kg angegeben wird.
Angenommen [mm]x_1^{\*}[/mm] und [mm]x_2^{\*}[/mm] seien optimale Mengen mit Einheit kg. Dann würde die Ungleichung so nicht erfüllt, weil wir links die Einheit kg und rechts die Einheit [mm]\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}[/mm] hätten. Dann müsstest du die [mm]120\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}[/mm] mit 10.000kg multiplizieren, damit auf der rechten Seite die Absolutmenge des in 10.000kg Mischfutter enthaltenen Nährstoffes N steht.
In der Ungleichung
[mm] 160\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}\cdot{}x_1 + 80\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}}\cdot{}x_2 \ge 120\bruch{\textrm{g}}{\textrm{kg}} [/mm]
meint [mm]x_1[/mm] bzw. [mm]x_2[/mm] den prozentualen Anteil von [mm]FU_1[/mm] bzw. [mm]FU_2[/mm] im Mischfutter. Und somit müssen sich beide Anteile in der Summe zu 1 - also 100% - ergänzen. Daher die letzte Gleichung [mm]x_1+x_2=1.[/mm]
Oder aber du sagst, [mm] $x_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] sollen die kg angeben, die von [mm] $FU_1$ [/mm] bzw. [mm] $FU_2$ [/mm] benötigt werden - dann musst du aber den Ratschlag von Sax befolgen und bei den Ungleichungen 1 bis 3 die rechte Seite der Ungleichung jeweils mit 10000kg multiplizieren.
Auch vorsicht bei der Zielfunktion. So, wie du sie jetzt angibst, erhälst du den optimalen (niedrigsten) Preis pro kg - wenn du die Zielfunktion mit 10000kg multiplizierst, erhälst du den minimalen Preis.
Tipp: Immer - auch wenn es mühselig ist - die Einheiten berücksichtigen. Zumindest, wenn du das LOP aufstellst. So kannst du Fehler leichter erkennen.
Ich hoffe, ich konnte dir (ein wenig) weiterhelfen.
Gruß
barsch
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