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Liebe Mitglieder!
Ich habe (auch diesmal) einen Beweis zu einer Aufgabe geschrieben und wollte fragen, ob er so richtig ist bzw. wie man ihn besser/kürzer machen könnte?
| Aufgabe | | Eine reguläre [mm]n\times n\texttt{--Matrix}[/mm] besitzt genau dann eine Zerlegung [mm]A = LR[/mm], wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten von Null verschieden sind. |
Beweis:
"[mm]\Rightarrow:[/mm]"
Angenommen es existiert eine [mm]LR\texttt{--Zerlegung}[/mm] von [mm]A[/mm]. Dann gilt für die Determinante von [mm]A[/mm]:
[mm]\det A = \det\left(LR\right) = \det\left(L\right)\det\left(R\right)[/mm]
Es ist [mm]\det L = 1[/mm], da es sich bei [mm]L[/mm] um eine untere Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonale handelt. Wir können also bei der Determinantenberechnung jedesmal nach der erste Zeile entwickeln. Am Ende bleibt nur noch [mm]l_{n,n} = 1[/mm].
Bei [mm]R[/mm] können wir bei jedem Schritt nach der ersten Spalte entwickeln und erhalten:
[mm]\det A = \det R = \prod_{i=1}^n{r_{i,i}}[/mm]
Damit ist klar, daß alle Hauptabschnittsdeterminanten [mm]\ne 0[/mm] sein müssen, denn jeder Faktor des obigen Produkts muß [mm]\ne 0[/mm] sein, damit das Gesamtprodukt [mm]\ne 0[/mm] ist.
"[mm]\Leftarrow:[/mm]"
Angenommen alle Hauptabschnittsdeterminaten von [mm]A[/mm] sind [mm]\ne 0[/mm]. Dann ist das Gleichungssystem
[mm]Ax = y,\;x,y \in \mathbb{K}^n;\;x,y \ne 0[/mm]
mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz eindeutig lösbar. Also müßte sich zur Lösung eines solchen Systems auch der Gauss-Algorithmus ohne Probleme anwenden lassen. Damit existiert auch eine [mm]LR\texttt{--Zerlegung}[/mm] von [mm]A[/mm].
Wäret ihr mit einer solchen Argumentation einverstanden?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo Karl,
Die Hinrichtung kann man sicher so lassen. Wenn Du Dir klar gemacht hast aus welchen Teilmatrizen von L,R sich die jeweiligen Hauptabschnittsdeterminanten berechnen lassen.
Rückrichtung:
Gaußalgorithmus ohne Pivotisierung möglich [mm] \Rightarrow [/mm] Es ex. eine LR Zerlegung.
Hier sehe ich nicht wie Deine Argumentation greifen soll.
Mein Tipp wäre hier Induktion versuchen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn!
> Die Hinrichtung kann man sicher so lassen.
> Wenn Du Dir
> klar gemacht hast aus welchen Teilmatrizen von L,R sich die
> jeweiligen Hauptabschnittsdeterminanten berechnen lassen.
Was meinst Du jetzt damit? Also, ich habe ja geschrieben, daß [mm]\det L = 1[/mm] sein muß, weil ich da immer nach der ersten Zeile entwickeln kann. Willst du, daß ich das genauer formuliere? Also, dann versuche ich es mal. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz können wir die Determinante nach der erste Zeile entwickeln:
[mm]\det L = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0\\
l_{2,1} & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
l_{n,1} & \dots & l_{n,n-1} & 1
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0\\
l_{3,2} & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0\\
l_{n,2} & \dots & l_{n,n-1} & 1
\end{vmatrix} = \dotsb = \begin{vmatrix}
1 & 0\\
l_{n,n-1} & 1
\end{vmatrix} = 1-0\cdot{l_{n,n-1}} = 1[/mm]
[mm]R[/mm] entwickeln wir immer nach der ersten Spalte:
[mm]\det R = \begin{vmatrix}
r_{1,1} & r_{1,2} & \dots & r_{1,n}\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & r_{n-1,n}\\
0 & \dots & 0 & r_{n,n}
\end{vmatrix} = r_{1,1}\cdot{\begin{vmatrix}
r_{2,2} & r_{2,3} & \dots & r_{2,n}\\
0 & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & r_{n-1,n}\\
0 & \dots & 0 & r_{n,n}
\end{vmatrix}}[/mm]
[mm]= \dotsb = \left(\prod_{i=1}^{n-2}{r_{i,i}}\right)\begin{vmatrix}
r_{n-1,n-1} & r_{n-1,n}\\
0 & r_{n,n}
\end{vmatrix} = \left(\prod_{i=1}^{n-2}{r_{i,i}}\right)\left(r_{n-1,n-1}r_{n,n} - 0\cdot{r_{n-1,n}}\right) = \prod_{i=1}^n{r_{i,i}[/mm]
Ist auch nur ein [mm]r_{i,i} = 0[/mm], ist [mm]\det A = 0[/mm], und so kann es dann keine [mm]LR\texttt{--Zerlegung}[/mm] geben.
> Rückrichtung:
> Gaußalgorithmus ohne Pivotisierung möglich [mm]\gdw[/mm] Es ex.
> eine LR Zerlegung.
> Hier sehe ich nicht wie Deine Argumentation greifen soll.
> Mein Tipp wäre hier Induktion versuchen.
Das werde ich gleich mal versuchen, und mich dann ein wenig später melden! Vielen Dank, mathemaduenn!!
Liebe Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Jetzt hast Du gezeigt das die Determinante ungleich 0 ist es sollten aber ja alle Hauptabschnittsdeterminanten ungleich null sein.
Also folgende Determinanten.
[mm] A = \left(\begin{matrix}
a_{11} & \dots & a_{nn}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{matrix} \right)[/mm]
[mm] \det A_1=|a_{11}|[/mm]
[mm] \det A_2 = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} [/mm]
....
[mm] \det A_n = \begin{vmatrix}
a_{11} & \dots & a_{nn}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{vmatrix} [/mm]
Da bleibt noch zu überlegen wie sich die [mm] A_i [/mm] aus R und L zusammensetzen. Oder ist Dir sowas auf den ersten Blick klar?
viele Grüße
mathemaduenn
P.S. Den Tipp für die Rückrichtung mal nicht allzu ernst nehmen so genau hab ich mir das noch nicht durchdacht.
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Hallo mathemaduenn!
> Jetzt hast Du gezeigt das die Determinante ungleich 0 ist
> es sollten aber ja alle Hauptabschnittsdeterminanten
> ungleich null sein.
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> Da bleibt noch zu überlegen wie sich die [mm]A_i[/mm] aus R und L
> zusammensetzen.
Ich glaube mittlerweile, daß man meinen Beweis durch Induktion "verstärken" könnte:
[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }\left(n = 1\right):}[/mm]
Es gilt: [mm]\left(a_{1,1}\right) = \left(1\right)\cdot{\left(a_{1,1}\right)}[/mm].
Für [mm]r_{1,1} := a_{1,1}[/mm] und wegen [mm]\left|a_{1,1}\right| = a_{1,1}[/mm] ist klar, daß [mm]\left(r_{1,1}\right)[/mm] nur dann existiert bzw. [mm]\ne 0[/mm] ist, wenn Determinante [mm]a_{1,1} \ne 0[/mm] ist.
Beim Induktionsschritt nehme man dann meinen "Beweis" am Anfang, ersetze dort jedes Vorkommen von [mm]n[/mm] im Text durch [mm]n+1[/mm]  , und sage vorher: Angenommen die Aussage wäre für [mm]i\times i\texttt{--Matrizen}[/mm] mit [mm]i = 1,\dotsc,n[/mm] bewiesen ...". Wäre das so ok?
> Oder ist Dir sowas auf den ersten Blick
> klar?
Leider nein. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> P.S. Den Tipp für die Rückrichtung mal nicht allzu ernst
> nehmen so genau hab ich mir das noch nicht durchdacht.
Also, ich bin noch dabei. Aber vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße
Karl
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Hallo Karl,
Induktion muß hier nicht sein. Die Überlegung die ich meinte war
[mm] A_i=L_i*R_i
[/mm]
[mm]\det A_i=\det L_i * \det R_i[/mm]
Also die Hauptabschnittsdeterminanten von A setzen sich aus denen von R und L zusammen. Das kannst Du dann in den Beweis vom Anfang direkt einfügen.
viele Grüße
mathemaduenn
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