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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
[mm] q'=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0 }*q, q(0)=\vektor{-2 \\ 2}
[/mm]
Formen Sie die Lösung ggf. so um, dass ein rein reellwertiger Ausdruck entsteht. |
Hallo,
habe hier grad mal wieder ein Problem bei der Aufgabe.
Hab eine ähnlich im Skript gefunden und versucht mich anhand des Beispiels an dieser zu versuchen. Nur habe ich hier einen Unterschied zu der Aufgabe im Skript, womit ich nicht umzugehen weiß.
Ich habe hier auf einmal i's drinne ;) Jetzt steh ich aufm Schlauch und weiß nicht, wie es weitergeht.
Meine Rechnung dazu habe ich hier mal hochgeladen
http://dream-hosting.de/image/images/klz1285516811c.JPG
Dankeschön =)
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Hallo inseljohn,
> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
> [mm]q'=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0 }*q, q(0)=\vektor{-2 \\ 2}[/mm]
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> Formen Sie die Lösung ggf. so um, dass ein rein
> reellwertiger Ausdruck entsteht.
>
> Hallo,
>
> habe hier grad mal wieder ein Problem bei der Aufgabe.
> Hab eine ähnlich im Skript gefunden und versucht mich
> anhand des Beispiels an dieser zu versuchen. Nur habe ich
> hier einen Unterschied zu der Aufgabe im Skript, womit ich
> nicht umzugehen weiß.
> Ich habe hier auf einmal i's drinne ;) Jetzt steh ich aufm
> Schlauch und weiß nicht, wie es weitergeht.
>
> Meine Rechnung dazu habe ich hier mal hochgeladen
> http://dream-hosting.de/image/images/klz1285516811c.JPG
Die Bestimmung der Eigenvektoren kannst Du
für alle Eigenwerte auf einmal erledigen.
Dann hast Du folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm]\pmat{-\lambda_{k} & 1 \\ -1 & -\lambda_{k}}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Oder in Gleichungsform:
[mm]\left(-\lambda_{k}\right)*x_{1}+x_{2}=0[/mm]
[mm]\left(-1}\right)*x_{1}+\left(-\lambda_{k}\right)*x_{2}=0[/mm]
Daraus ergibt sich [mm]\overrightarrow{ev_{k}}=\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{1 \\ \lambda_{k}}, \ k=1,2[/mm]
Somit die Lösung
[mm]q\left(t\right)=c_{1}*\overrightarrow{ev_{1}}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}*\overrightarrow{ev_{2}}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm]
Nun mußt Du die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] so wählen,
daß dabei eine reelle Lösung herausspringt.
Da die Eigenwerte komplex sind,
hilft hier die Eulersche Identität weiter.
>
> Dankeschön =)
Gruss
MathePower
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Hallo =)
ich muss gestehen, dass es mir mittlerweile echt schon peinlich ist, aber ich kapier das nicht. Ich hab ein Beispiel zu der Aufgabe wo keine komlpexen nullstellen drankommen. dieses beispiel kann ich voll und ganz nachvollziehen.
ist denn jetzt mein lösungsweg vollkommen falsch? Was bedeute ich muss c1&c2 wählen? Kann ich mir die einfach ausdenken?
Entschuldige meine Unwissenheit
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Hallo inseljohn,
> Hallo =)
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> ich muss gestehen, dass es mir mittlerweile echt schon
> peinlich ist, aber ich kapier das nicht. Ich hab ein
> Beispiel zu der Aufgabe wo keine komlpexen nullstellen
> drankommen. dieses beispiel kann ich voll und ganz
> nachvollziehen.
>
> ist denn jetzt mein lösungsweg vollkommen falsch? Was
Nein, Du bist momentan bei der Bestimmung
der Eigenvektoren zu den Eigenwerten.
Es ist klar, daß die Eigenvektoren auch komplex sind.
Ich schreibe die Lösung etwas anders:
[mm] q\left(t\right)=c_{1}\cdot{}\overrightarrow{ev_{1}}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\overrightarrow{ev_{2}}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}t}[/mm]
[mm] \gdw q\left(r\right)=c_{1}*\left(\operatorname{Re}\overrightarrow{ev_{1}}+i*\operatorname{Im}\overrightarrow{ev_{1}}\right)*\left(\cos\left(t\right)+i*\sin\left(t\right)\right)+c_{2}*\left(\operatorname{Re}\overrightarrow{ev_{2}}+i*\operatorname{Im}\overrightarrow{ev_{2}}\right)*\left(\cos\left(t\right)-i*\sin\left(t\right)\right)[/mm]
Dieser Ausdruck soll jetzt reell sein.
Multiplizierst Du das aus, dann kommst Du auf Bedingungen,
die für [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] gelten müssen.
> bedeute ich muss c1&c2 wählen? Kann ich mir die einfach
> ausdenken?
>
> Entschuldige meine Unwissenheit
Gruss
MathePower
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