LU-Zerlegung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich habe mal ne Frage zu dieser LU-Zerlegung. Und zwar habe ich folgendes Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \\ -1 & -3 & -1}
[/mm]
Dann fängt man ja wie folgt an, falls die Determinante ungleich Null ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \\ -1 & -3 & -1}
[/mm]
Meine erste Frage schon mal, macht man in der Einheitsmatrix exakt die selben Schritte wie die, die man in der Matrix A vornimmt? Und müssen in der Matrix L dann, wirklich nur Einsen auf der Diagonalen sein? Oder darf dort z.B. auch -1 stehen?
- In der Lösung wird die erste Zeile mit 2 multipiliziert und von der zweiten abgezogen.
- Dann wird die erste einfach zur zweiten addiert. Man erhält
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}
[/mm]
Hier schon meine nächste Frage. Wenn ich in der Einheitsmatrix die erste Zeile mal 2 nehmen, und diese dann von der zweiten Zeile subtrahiere, muss dann nicht der zweite Eintrag in der zweiten Zeile -1 heißen?? denn es heißt ja dann eigentlich 2*0-1
Ebenso versteh ich nicht, wieso die in der dritten Zeile an erster Stelle bei der Einheitsmatrix ein -1 erhalten. Wenn ich die erste Zeile von der dritten abziehe, dann habe ich doch nur 1-0=1.
also meine Matrix [mm] L_1 [/mm] würde wie folgt aussehen.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}
[/mm]
Das kann so natürlich nicht stimmen, weil das Ergebnis nicht mehr richtig ist. aber finde meine Denkfehler gerade nicht :-(.
So, machen wir mal mit deren Lösung weiter:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}
[/mm]
so hiernach kommen die dann auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
Was wurde hier gemacht? anscheinend wurde doch die Zeite Zeile von dritten abgezogen, oder? Dann verstehe ich aber nicht, wieso es in der dritten Zeile an dritter Stelle bei der Matrix [mm] U_2 [/mm] nicht heißt -3, denn 0-3=3, oder nicht??
Und bei der Matrix [mm] L_2 [/mm] dann genauso, wenn ich 2-(-1) ist es doch 3 und nicht -1. 1-0=1 und 0-1=-1, hier haben die aber auch wieder 1.
Kann mir vielleicht jemand diese ganzen Schritte, an denen ich Probleme hatte, erklären? Wäre echt super nett.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mi 02.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
Kann hier wirklich keiner mehr was dazu sagen??
Wäre echt nett, denn die Geschichte mit der LU-Zerlegung habe ich irgendwie noch nicht so gut drauf :-/.
Hoffe auf eure Hilfe.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo jaruleking,
> Hi,
>
> ich habe mal ne Frage zu dieser LU-Zerlegung. Und zwar habe
> ich folgendes Beispiel:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \\ -1 & -3 & -1}[/mm]
>
> Dann fängt man ja wie folgt an, falls die Determinante
> ungleich Null ist:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \\ -1 & -3 & -1}[/mm]
>
> Meine erste Frage schon mal, macht man in der
> Einheitsmatrix exakt die selben Schritte wie die, die man
> in der Matrix A vornimmt? Und müssen in der Matrix L dann,
> wirklich nur Einsen auf der Diagonalen sein? Oder darf dort
> z.B. auch -1 stehen?
nein macht man nicht, dann würdest du ja in Richtung Matrix-Invertierung gehen. Auf der Hauptdiagonalen der L-Matrix dürfen stehen nur positive 1en, ist so definiert. Deswegen schreibst man am Anfang die Einheitsmatrix hin, es gilt dort nur noch die Stellen unterhalb der Diagonalen zu füllen....
>
> - In der Lösung wird die erste Zeile mit 2 multipiliziert
> und von der zweiten abgezogen.
> - Dann wird die erste einfach zur zweiten addiert. Man
du meinst dann zur dritten oder?
> erhält
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}[/mm]
>
> Hier schon meine nächste Frage. Wenn ich in der
> Einheitsmatrix die erste Zeile mal 2 nehmen, und diese dann
> von der zweiten Zeile subtrahiere, muss dann nicht der
> zweite Eintrag in der zweiten Zeile -1 heißen?? denn es
> heißt ja dann eigentlich 2*0-1
in der L-Matrix werden die Multiplikatoren spaltenweise "gespeichert", die nötig sind um die 1.Zeile abziehen zu können. [mm] l_{21} [/mm] = 2, deswegen, weil 2 - [mm] \red2*1 [/mm] = 0 und [mm] l_{31} [/mm] = -1, weil -1 - [mm] \red{(-1)}*1 [/mm] = 0
die U-Matrix wird genau nach dem Gauß-Algorithmus umgeformt
> Ebenso versteh ich nicht, wieso die in der dritten Zeile
> an erster Stelle bei der Einheitsmatrix ein -1 erhalten.
> Wenn ich die erste Zeile von der dritten abziehe, dann habe
> ich doch nur 1-0=1.
>
> also meine Matrix [mm]L_1[/mm] würde wie folgt aussehen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}[/mm]
>
> Das kann so natürlich nicht stimmen, weil das Ergebnis
> nicht mehr richtig ist. aber finde meine Denkfehler gerade
> nicht :-(.
>
> So, machen wir mal mit deren Lösung weiter:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3}[/mm]
>
> so hiernach kommen die dann auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ \red-1 & 1 & 1}\pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
da hat sich ein "-" unerlaubt entfernt
>
> Was wurde hier gemacht? anscheinend wurde doch die Zeite
> Zeile von dritten abgezogen, oder? Dann verstehe ich aber
> nicht, wieso es in der dritten Zeile an dritter Stelle bei
> der Matrix [mm]U_2[/mm] nicht heißt -3, denn 0-3=3, oder nicht??
watt? wenn du wie du schon sagst die zweite Zeile von der dritten abziehst, dann hast du doch 3.Zeile - 2.Zeile, also 3-0 = ????
>
> Und bei der Matrix [mm]L_2[/mm] dann genauso, wenn ich 2-(-1) ist es
> doch 3 und nicht -1. 1-0=1 und 0-1=-1, hier haben die aber
> auch wieder 1.
[mm] l_{32} [/mm] = 1 deswegen, weil der Multiplikator eben genau 1 ist nämlich -1 - [mm] \red1*(-1) [/mm] = 0
>
> Kann mir vielleicht jemand diese ganzen Schritte, an denen
> ich Probleme hatte, erklären? Wäre echt super nett.
also wie du auf die U-Matrix kommst ist klar oder? Gauß-Algorithmus.
In die L-Matrix kommen unterhalb der Hauptdiagonalen die Werte rein, mit denen du die Zeile multiplizieren musst, um sie von der unteren abziehen zu können. Und zwar im 1.Schritt alle l's der 1.Spalte, im 2.Schritt alle l's der 2.Spalte usw.
Am besten du suchst mal nach dem Algorithmus, und arbeitest den mal ganz stur nach Rezept ab....
>
> Grüße
Gruß Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mo 07.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
Vielen Dank,
jetzt habe ich es verstanden!!
Gruß
|
|
|
|
