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L'Hospital: Lösung unmöglich?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:38 Di 02.02.2010
Autor: Nelius2

Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(x)/x^a [/mm]  , a>0

Ich habe schon alles versucht. Es ist klar, dass diese Aufgabe wohl mit L'Hospital gelöst werden muss. Ich komme dennoch nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
L'Hospital: unbestimmter Ausdruck
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Di 02.02.2010
Autor: Loddar

Hallo Nelius,

[willkommenmr] !!


Der Grenzwert soll doch bestimmt [mm] $\red{x}\rightarrow\infty$ [/mm] gehen, oder?

Und wo ist das Problem? Dieser Ausdruck ist unbestimmt à la [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] , so dass man direkt mit MBde l'Hospital vorgehen kann.

Leite also den Zähler und denn Nenner getrennt ab und fasse anschließend zusammen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
L'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Di 02.02.2010
Autor: Nelius2

Ja genau das hab ich gemacht. Wenn ich dies aber tue, so hab ich dann dort stehen:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/x)/(ax^(a-1))

Dann steht ja dort, "0/unendlich"

Bezug
                        
Bezug
L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Ja genau das hab ich gemacht. Wenn ich dies aber tue, so
> hab ich dann dort stehen:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1/x)/(ax^(a-1))
>  
> Dann steht ja dort, "0/unendlich"

Ja...

Aber du kannst doch den Term im Limes umformen!

[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{x}}{a*x^{a-1}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{1}{a*x^{a}} [/mm] = ...$

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
L'Hospital: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 02.02.2010
Autor: Nelius2

Kann dem nicht so ganz folgen. Wenn man den Nenner laut L'Hospital permanent ableitet, kommt ja [mm] a!*x^0=a! [/mm] raus. Der Zähler geht ja alternierend gegen 0.

Was wäre dann der berechnete Grenzwert dieser Funktion?

Danke

Bezug
                                        
Bezug
L'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Di 02.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Kann dem nicht so ganz folgen. Wenn man den Nenner laut
> L'Hospital permanent ableitet, kommt ja [mm]a!*x^0=a![/mm] raus. Der
> Zähler geht ja alternierend gegen 0.
>  
> Was wäre dann der berechnete Grenzwert dieser Funktion?

Derselbe, wie ich schon gesagt habe.
L'Hospital hat nichts mit "permanent" ableiten zu tun!
Der Satz sagt:

Liegt [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] vor mit [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}g(x) [/mm] = [mm] 0\mbox{ oder }\infty$, [/mm] und existiert

[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, [/mm]

dann ist

[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$. [/mm]

Das bedeutet, du musst jetzt nur noch den Grenzwert der Ableitungen untersuchen. Das haben wir oben getan - und im (!) Grenzwert darf man natürlich beliebige Umformungen durchführen!

Wenn ich also im Grenzwert [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] den Term [mm] \frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] so umformen kann, dass ich dann eine Aussage über den Grenzwert machen kann, dann habe ich doch nichts anderes gemacht als

[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm]

berechnet.

Grüße,
Stefan

Bezug
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