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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Salut Marc, sowie alle anderen!
Ich werde das mal hinschreiben, was in der Vorlesung gemacht wurde, weil ich nicht auseinander halten kann, was wir gemacht haben und was NICHT:
Es seien [mm] a\in\IR [/mm] oder [mm] a= -\infty, b\in \IR [/mm] oder [mm] b= \infty [/mm] und [mm] f,g: (a,b)\to \IR [/mm] diffbare Abbildungen. Es gelte [mm] $g'(x)\ne [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in [/mm] (a,b)$ und eine der Annahmen:
(1) [mm]\limes_{x \to a} f(x) = \limes _{x \to a} g(x) =0[/mm]
(2) [mm]\limes_{x \to a} g(x) = \infty [/mm] oder [mm] \limes _{x \to a} g(x) = -\infty [/mm]
Wenn [mm]\bruch {f'}{g'}[/mm] bei Annäherung an a (uneigentlich) konvergiert, so konv. auch [mm]\bruch {f}{g}[/mm]
bei Annäherung gegen a und es gilt
[mm]\limes_{x \to a} \bruch{f(x)}{g(x)}= \limes _{x \to a} \bruch{f'x)}{g'(x)}[/mm]
analoge Aussage auch für x gegen b (beim Limes)
Und da haben wir etlich Fälle bewiesen.... (4 genau!), die waren echt kompliziert!!!
Hilft das weiter??? Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Do 27.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
Also, entweder ich habe was nicht verstanden, übersehe eine Schwierigkeit oder aber die Aufgabe ist wirklich so einfach. (?)
Man muss doch einfach den zweimal von dir zitierten Satz anwenden:
1) auf die Funktionen:
[mm] $\tilde{f}:= f_{\vert\, I\cap\, ]x_0,+\infty[} [/mm] : I [mm] \cap\, ]x_0,+\infty[ \to \IR$ [/mm] und
[mm] $\tilde{g}:= g_{\vert\, I\cap\, ]x_0,+\infty[} [/mm] : I [mm] \cap\, ]x_0,+\infty[ \to \IR$ [/mm]
2) auf die Funktionen:
[mm] $\hat{f}:= f_{\vert\, I\cap\, ]-\infty,x_0[} [/mm] : I [mm] \cap\, ]-\infty,x_0[ \to \IR$ [/mm] und
[mm] $\hat{g}:= g_{\vert\, I\cap\, ]-\infty,x_0[} [/mm] : I [mm] \cap\, ]-\infty,x_0[ \to \IR$.
[/mm]
Aus der Existenz von [mm] $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] folgen die Existenzen von
[mm]\lim\limits_{x \downarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\tilde{f}'(x)}{\tilde{g}'(x)}[/mm]
und
[mm]\lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\hat{f}'(x)}{\hat{g}'(x)}[/mm]
Dann folgt (mit dem Satz) die Existenz des rechtsseitigen Limes [mm] $\lim\limits_{x \downarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\tilde{f}(x)}{\tilde{g}(x)}$ [/mm] und die Gleichheit
(*)[mm]\lim\limits_{x \downarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\tilde{f}(x)}
{\tilde{g}(x)} = \lim\limits_{x \downarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
sowie die Existenz des linksseitigen Limes [mm] $\lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\hat{f}(x)}{\hat{g}(x)}$ [/mm] und die Gleichheit
(**) [mm]\lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\hat{f}(x)}{\hat{g}(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\hat{f}'(x)}{\hat{g}'(x)} = \lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
Aus der Existenz von [mm] $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] sowie den Gleichheiten (*) und (**) folgt aber nun die Existenz von [mm] $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] sowie:
[mm] $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$.
[/mm]
Alles klar? 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 27.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Lieber Julius,
ehrlich gesagt habe ich auch noch überhaupt keinen Unterschied gefunden zu den von uns bewiesenen Sätzen. Könntest du vielleicht kurz darauf hinweisen, wenn du es weißt (und das ist ja zu 100% der Fall, weil du die Aufgabe ja schon gelöst hast, Danke).
Ich war mir sicher, dass es da irgendwo einen Haken gibt!!!
Ansonsten muss ich noch gucken, ob mir das klar ist. Diese Regeln finde ich sehr kompliziert!!!
Vielen Dank, bis bald Cathrine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Do 27.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> ehrlich gesagt habe ich auch noch überhaupt keinen
> Unterschied gefunden zu den von uns bewiesenen Sätzen.
> Könntest du vielleicht kurz darauf hinweisen, wenn du es
> weißt (und das ist ja zu 100% der Fall,
Komm, übertreib mal nicht. 
Es ist so: Bei eurem bisherigen Satz waren $f$ und $g$ in dem Punkt, wo der Grenzwert betrachtet wird, gar nicht definiert. Es waren ja Randpunkte des offenen Definitionsintervalls.
In der zu beweisenden Aussage sind $f$ und $g$ in dem zu betrachtenden Punkt definiert, ja sogar differenzierbar.
Dennoch ist natürlich die Existenz von
[mm] $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$
[/mm]
im Falle [mm] $g(x_0)=0$ [/mm] nicht gesichert.
Was ich jetzt gemacht habe, ist folgendes: Ich habe das Intervall $I [mm] \setminus\{x_0\}$ [/mm] aufgeteilt: In das Intervall [mm] $]-\infty,x_0[\, \cap \, [/mm] I$ und das Intervall [mm] $]x_0,+\infty[\, \cap\, [/mm] I$.
Dadurch konnte ich die zu beweisende Aussage auf die schon bewiesene Situation zurückführen.
Liebe Grüße
Julius
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