$L^{\infty}$-Abschätzung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Do 28.02.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
Meine Aufgabe ist die [mm] $L^{\infty}$ [/mm] Beschränktheit einer Menge [mm] $A\subset H_0^1(\Omega)$ [/mm] zu zeigen, d.h. es ist zu zeigen: Es gibt eine reelle Konstante $M>0$, so dass die Abschätzung
[mm] $\Vert{u}\Vert_{L^{\infty}}\,\leqslant\,M$ $\forall\,u\in [/mm] A$
gilt. Im Beweis wird gezeigt, dass die Aussagen
[mm] $\int_{\Omega}(u(x)-M)_{+}^{2}\mbox{d}x\,=\,0$
[/mm]
[mm] $\int_{\Omega}(u(x)+M)_{-}^{2}\mbox{d}x\,=\,0$
[/mm]
gelten, wobei die Funktionen durch
[mm] $(u(x)-M)_{+}:=\begin{cases}u(x)-M &\text{falls }u(x)-M>0 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
[mm] $(u(x)+M)_{-}:=\begin{cases}u(x)+M &\text{falls }u(x)+M<0 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
definiert sind. Meine Frage lautet nun: Wieso erhalte ich aus den zwei Gleichungen jetzt eine [mm] $L^{\infty}$ [/mm] Schranke? Kann ich das irgendwo nachlesen oder kann mir das jemand erklären.
Leider bin ich nicht mehr so ganz fit, wenn es um den Raum [mm] $L^{\infty}$ [/mm] geht.
Ich danke alle schon einmal für die Unterstützung.
Gruß
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Hi,
> Hallo an alle.
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> Meine Aufgabe ist die [mm]L^{\infty}[/mm] Beschränktheit einer Menge
> [mm]A\subset H_0^1(\Omega)[/mm] zu zeigen, d.h. es ist zu zeigen: Es
> gibt eine reelle Konstante [mm]M>0[/mm], so dass die Abschätzung
>
> [mm]\Vert{u}\Vert_{L^{\infty}}\,\leqslant\,M[/mm] [mm]\forall\,u\in A[/mm]
>
> gilt. Im Beweis wird gezeigt, dass die Aussagen
>
> [mm]\int_{\Omega}(u(x)-M)_{+}^{2}\mbox{d}x\,=\,0[/mm]
> [mm]\int_{\Omega}(u(x)+M)_{-}^{2}\mbox{d}x\,=\,0[/mm]
>
> gelten, wobei die Funktionen durch
>
> [mm](u(x)-M)_{+}:=\begin{cases}u(x)-M &\text{falls }u(x)-M>0 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> [mm](u(x)+M)_{-}:=\begin{cases}u(x)+M &\text{falls }u(x)+M<0 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> definiert sind. Meine Frage lautet nun: Wieso erhalte ich
> aus den zwei Gleichungen jetzt eine [mm]L^{\infty}[/mm] Schranke?
> Kann ich das irgendwo nachlesen oder kann mir das jemand
> erklären.
eigentlich nicht so schwer: nimm das erste integral, der integrand ist nichtnegativ. wenn das integral verschwindet, muss der integrand also f.ü. gleich null sein. dh. aber, dass
[mm] $u(x)-M\le [/mm] 0$ f.ü..
also folgt direkt [mm] $u\le [/mm] M$ f.ü.. das andere integral liefert die abschätzung nach unten, also folgt [mm] $\|u\|_{\infty}\le [/mm] M$.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank. Deine Worte waren sehr aufschlußreich.
Gruß
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