Länge einer Kurve im R4 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Seien a, b aus R, a < b. Berechnen Sie Länge und Geschwindigkeitsvektor zu einem beliebigen Zeitpunkt t der Kurve [mm]\gamma:[a, b] \to\IR^4, t\mapsto(2cost, 2sint, 3t^2, t).[/mm]
Mein Ansatz:
[mm]L_{\gamma} = \integral_{a}^{b}{\wurzel{(2sint)^2+(2cost)^2+(3t^2)^2+t^2} dt} = \integral_{a}^{b}{\wurzel{4+9t^4+t^2}} dt[/mm]
Lässt sich meines Wissens nach nicht weiter vereinfachen, außerdem ist in der Angabe eine Hilfestellung:
[mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+t^2}}dt = \bruch{1}{2}(\wurzel{1+t^2}+ \bruch{1}{sinh(t)}) +c[/mm]
Wie komm ich auf die Form in der Hilfestellung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bbc,
> Seien a, b aus R, a < b. Berechnen Sie Länge und
> Geschwindigkeitsvektor zu einem beliebigen Zeitpunkt t der
> Kurve [mm]\gamma:[a, b] \to\IR^4, t\mapsto(2cost, 2sint, 3t^2, t).[/mm]
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> Mein Ansatz:
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> [mm]L_{\gamma} = \integral_{a}^{b}{\wurzel{(2sint)^2+(2cost)^2+(3t^2)^2+t^2} dt} = \integral_{a}^{b}{\wurzel{4+9t^4+t^2}} dt[/mm]
Hmm, du musst doch erstmal [mm]\gamma'[/mm] berechnen ...
[mm]\gamma'(t)=(-2\sin(t),2\cos(t),6t,1)[/mm]
Also [mm]L_{\gamma}=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{(-2\sin(t))^2+(2\cos(t))^2+(6t)^2+1^2} \ dt}=\int\limits_a^b{\sqrt{4\sin^2(t)+4\cos^2(t)+36t^2+1} \ dt}=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{36t^2+5} \ dt}[/mm]
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> Lässt sich meines Wissens nach nicht weiter vereinfachen,
> außerdem ist in der Angabe eine Hilfestellung:
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> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+t^2}}dt = \bruch{1}{2}(\wurzel{1+t^2}+ \bruch{1}{sinh(t)}) +c[/mm]
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> Wie komm ich auf die Form in der Hilfestellung?
Es ist [mm]\sqrt{36t^2+5}=\sqrt{5}\cdot{}\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}t\right)^2+1}[/mm] - einfach die 5 unter der Wurzel ausgeklammert und rausgezogen.
Also hast du [mm]\sqrt{5}\cdot{}\int\limits_a^b{\sqrt{\left(\frac{6}{\sqrt{5}}t\right)^2+1} \ dt}[/mm]
Hast du nun eine Idee für eine passende Substitution, um auf die Form im Tipp zu kommen?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gruß
schachuzipus
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So etwa?
[mm]u := \bruch{6}{\wurzel{5}}t[/mm], [mm]du:=dt[/mm]
[mm]\Rightarrow \wurzel{5} \integral_{a}^{b}{(\wurzel{\bruch{6}{\wurzel5}t)^2+1}} dt=\wurzel{5} \integral_{a}^{b}{(\wurzel{u^2+1}} du=
=\bruch{1}{2}\wurzel{5}(\wurzel{u^2+1} *u* sinh^{-1}(u))|_a^b=\bruch{1}{2}\wurzel{5}(\wurzel{{(\bruch{6}{\wurzel{5}}t)^2+1}} *(\bruch{6}{\wurzel{5}}t)* sinh^{-1}(\bruch{6}{\wurzel{5}}t))|_a^b[/mm]
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Hallo nochmal,
> So etwa?
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> [mm]u := \bruch{6}{\wurzel{5}}t[/mm],
Genauso!
[mm]du:=dt[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]u'(t)=du/dt=6/\sqrt{5}[/mm], also [mm]dt=\sqrt{5}/{6} \ du[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{5} \integral_{a}^{b}{(\wurzel{\bruch{6}{\wurzel5}t)^2+1}} dt=\wurzel{5} \integral_{a}^{b}{(\wurzel{u^2+1}} du= =\bruch{1}{2}\wurzel{5}(\wurzel{u^2+1} *u* sinh^{-1}(u))|_a^b=\bruch{1}{2}\wurzel{5}(\wurzel{{(\bruch{6}{\wurzel{5}}t)^2+1}} *(\bruch{6}{\wurzel{5}}t)* sinh^{-1}(\bruch{6}{\wurzel{5}}t))|_a^b[/mm]
Das stimmt nicht ganz - siehe oben.
Außerdem musst du entweder die Grenzen (die in t sind) mit substituieren und in Grenzen in u überführen oder - und das wäre mein Vorschlag - rechne ohne Grenzen, resubstituiere dann und verwende die "alten" Grenzen in t
Aber erstmal musst du wohl nochmal bei der Stammfunktion nachbessern ...
Gruß
schachuzipus
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