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Forum "Topologie und Geometrie" - Länge von Winkelhalbierenden
Länge von Winkelhalbierenden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Länge von Winkelhalbierenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 So 29.04.2012
Autor: imagemixer

Aufgabe
Es sei ein Dreieck abc gegeben und es bezeichne x die Länge der
Seite bc, y die Länge der Seite ac und z die Länge der Seite ab.
Die Winkelhalbierende durch die Ecke a treffe die Seite bc im Punkt n. Berechnen Sie die Länge [mm] \overline{an} [/mm] in Abhängigkeit der Seitenlängen x, y und z.


Hallo,

kann mir jemand dabei behilflich sein, die Aufgabe ohne die Beziehung von Stewart zu lösen ? Den Satz hatten wir in der Vorlesung nämlich noch nicht, wir haben jedoch Gleichungen für Winkelhalbierende und ihre Schnittpunkte.
Vielleicht kann man benutzen, dass diese Winkelhalbierende die Seite bc in dem selben Verhältnis teilt, wie ab:ac, aber ich habe keine Ahnung, wie man die Formel für die Länge von Winkelhalbierenden herleiten kann.

Besten Dank.

PS: Ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt.

        
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mo 30.04.2012
Autor: Diophant


> kann mir jemand dabei behilflich sein, die Aufgabe ohne die
> Beziehung von Stewart zu lösen ? Den Satz hatten wir in
> der Vorlesung nämlich noch nicht, wir haben jedoch
> Gleichungen für Winkelhalbierende und ihre Schnittpunkte.
> Vielleicht kann man benutzen, dass diese Winkelhalbierende
> die Seite bc in dem selben Verhältnis teilt, wie ab:ac,
> aber ich habe keine Ahnung, wie man die Formel für die
> Länge von Winkelhalbierenden herleiten kann.

du könntest es mit Winkelfunktionen lösen, falls erlaubt. Berechne die Winkel mit Hilfe des Kosinussatzes, dann hast du am Dreieck ABN die Seite z und zwei Winkel, da kosst du mit dem Sinussatz direkt zu der gewünschten Länge.


Gruß, Diophant

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Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mo 30.04.2012
Autor: imagemixer

Es sind ja keine Zahlen gegeben, dann liefert mir der Kosinussatz doch eine Gleichung mit [mm] \cos \alpha [/mm] , den ich nicht weiterverwenden kann.

Ansonsten darf man die Winkelfunktionen benutzen.

Folgendes haben wir noch im Skript:
Richtungsvektor der Winkelhalbierenden durch den Punkt a :
[mm] \bruch{1}{z}(b-a)+\bruch{1}{y}(c-a) [/mm]
(a,b,c sind die Ecken und x,y,z die Seiten)

Wenn ich den Betrag davon nehmen würde, hätte ich die Länge vom Richtungsvektor der Winkelhalbierenden. Wäre das auch die richtige Länge vom Winkelhalbierenden ?

edit:
Das mit den Winkelfunktionen müsste eigentlich klappen, aber mir hakt es ein wenig daran, dass sih die [mm] \cos [/mm] nicht gegenseitig aufheben oder so.



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Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Di 01.05.2012
Autor: leduart

Hallo
du hast die Richtung von Wh mach daraus nen Einheitsvektor [mm] e_w [/mm]
dann ist [mm] r*e_w [/mm] =  AN dann hast du 2 Beziehungen  die Summe der Vektoren=0 daraus [mm] r*e_w [/mm] als Summe von Seitenvektoren. (r ist die gesuchte länge.
ich habs nicht zu Ende gerechnet, aber vielleicht klappt es.
es ist unpraktisch Eckpunkte und seitenlängen mit kleinen buchstaben zu bezeichnen, das bringt zumindest mich durcheinander. bezeichnet ihr Dreiecke immer so?
Gruss leduart

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Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Di 01.05.2012
Autor: imagemixer

Ja, die Eckpunkte heißen a,b,c und die Seiten x,y,z.

Welche Summe ist genau null ?

Bezug
        
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Di 01.05.2012
Autor: weduwe

man könnte auch so vorgehen:
(mit den üblichen buchstaben für die eckpunkte wie im bilderl :-) )

mit dem strahlensatz zeigt man die eh bekannte beziehung

[mm](1)\quad{}BN=\frac{z}{y+z}x[/mm]

sowie [mm](2)\quad{ }AN=\frac{2yz}{y+z}cos\alpha[/mm]

der cosinussatz im 3eck [mm] \Delta{ABN} [/mm] ergibt nun

[mm](3)\quad{ }BN^2=AN^2+z^2-2AN\cdot z\cdot cos\alpha[/mm]

einsetzen von (1) und (2) liefert AN=AN(x,y,z)

(stichwort wäre auch: satz von stewart)

[Dateianhang nicht öffentlich]




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Di 01.05.2012
Autor: imagemixer

Wie leitest du (2) her ?

Bezug
                        
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Di 01.05.2012
Autor: weduwe

steht eh oben

mit dem strahlensatz
AB : BD = AN : CD

Bezug
                                
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Di 01.05.2012
Autor: imagemixer

Hat mit Kosinussatz und Strahlensatz geklappt. Einfach zwei Gleichungen mit dem Kosinussatz aufgestellt, wo [mm] \cos\alpha [/mm] drin vorkommt. Dann die eine nach [mm] \cos\alpha [/mm] umgeformt und in die andere eingesetzt und schließlich
[mm] \overline{bn} [/mm] nach dem Strahlensatz substituiert.

[mm] \overline{an} [/mm] = [mm] \wurzel{yz(1-\bruch{x^2}{(y+z)^2} )} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Di 01.05.2012
Autor: weduwe

das ergebnis ist korrekt[ok]


wobei allerdings [mm] \alpha\to\frac{\alpha}{2} [/mm] zu ersetzen ist

Bezug
                                                
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Di 01.05.2012
Autor: imagemixer

Ahso, ja ich habe einfach den halben Innenwinkel bei a als [mm] \alpha [/mm] definiert, dann passt das.

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Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Di 01.05.2012
Autor: imagemixer

Warum kommt denn in dem Strahlensatz [mm] \cos\alpha [/mm] vor?

Bezug
                                        
Bezug
Länge von Winkelhalbierenden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Di 01.05.2012
Autor: weduwe

berechne CD

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