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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Läufer
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Läufer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Sa 05.06.2021
Autor: hase-hh

Aufgabe
Acht Läufer A,B,C,D,E,F,G,H kämpfen um drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze).
Es wird angenommen, sie sind alle ungefähr gleich gut.


a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Läufer A, B, C in dieser Reihenfolge die Gold-, Silber- und die Bronzemedaille erhalten?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Tipp der drei Erstplatzierten zwar die richtigen drei Läufer benennt, aber in der falschen Reihenfolge?


Moin Moin,

a) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge wichtig ist.

Die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnet sich daher nach der Formel:

[mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm]

= [mm] \bruch{8!}{(8-3)!} [/mm] = 336

Die Wahrscheinlichkeit, für das Ereignis [mm] E_1: [/mm] "Die Läufer A,B,C landen auf den Medaillenrängen, mit 1. Platz A (Gold), 2. Platz B (Silber) und 3. Platz C (Bronze)" ist dann:

[mm] P(E_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{336} [/mm]


b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge unwichtig ist.

Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der Formel:

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm]


Fehler

= [mm] \vektor{8 \\ 5} [/mm] = 56


Korrektur

Da  n= 8  und  k=3  ist, muss es natürlich heißen

= [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] = 56  



Und jetzt wird es schwierig.


Es gibt insgesamt 8! = 40320 mögliche Ergebnisse.

D.h. die Wahrscheinlichkeit die "richtigen drei" zu tippen beträgt

[mm] \bruch{56}{40320} [/mm] = [mm] \bruch{1}{720} [/mm]



Eine Idee ist, dass die drei Läufer ja in k! bzw. 3! = 6 verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können.

Davon ist eine Reihenfolge die "richtige", und 5 Reihenfolgen sind "falsche".


Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm] E_2: [/mm] "Es werden die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen Reihenfolge" berechnet sich:  

=>  [mm] P(E_2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{720}*\bruch{5}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{864} [/mm]


richtig?  


Habt ihr noch andere Ideen?



Danke & Gruß




        
Bezug
Läufer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 So 06.06.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Wahrscheinlichkeit, für das Ereignis [mm]E_1:[/mm] "Die Läufer
> A,B,C landen auf den Medaillenrängen, mit 1. Platz A
> (Gold), 2. Platz B (Silber) und 3. Platz C (Bronze)" ist
> dann:
>  
> [mm]P(E_1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{336}[/mm]

[ok]
  

> b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne
> Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge
> unwichtig ist.
>
> Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die
> "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der
> Formel:
>  
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>  
> = [mm]\vektor{8 \\ 5}[/mm] = 56

Wieso du hier unten dann die 5 einsetzt, ist mir zwar ein Rätsel… aber richtig ist es trotzdem.

> Und jetzt wird es schwierig.
>
>
> Es gibt insgesamt 8! = 40320 mögliche Ergebnisse.
>
> D.h. die Wahrscheinlichkeit die "richtigen drei" zu tippen
> beträgt
>
> [mm]\bruch{56}{40320}[/mm] = [mm]\bruch{1}{720}[/mm]

Nee, hier hast du einen Denkfehler.

Du hast doch bereits ausgerechnet: Es gibt 56 Möglichkeiten, die ersten drei zu tippen… die Wahrscheinlichkeit die richtigen drei zu tippen ist damit einfach [mm] $\frac{1}{56}$ [/mm]

> Eine Idee ist, dass die drei Läufer ja in k! bzw. 3! = 6
> verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können.
>
> Davon ist eine Reihenfolge die "richtige", und 5
> Reihenfolgen sind "falsche".

Korrekt.

> Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm]E_2:[/mm] "Es werden
> die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen
> Reihenfolge" berechnet sich:  
>
> =>  [mm]P(E_2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{720}*\bruch{5}{6}[/mm] = [mm]\bruch{1}{864}[/mm]

Setzt du hier statt deinen falschen [mm] \frac{1}{720} [/mm] die [mm] \frac{1}{56} [/mm] ein, passt es.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Läufer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 So 06.06.2021
Autor: hase-hh

Moin, Moin!

> > b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne
> > Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge
> > unwichtig ist.
> >
> > Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die
> > "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der
> > Formel:
>  >  
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>  >  
> > = [mm]\vektor{8 \\ 5}[/mm] = 56
>  Wieso du hier unten dann die 5 einsetzt, ist mir zwar ein
> Rätsel… aber richtig ist es trotzdem.

Stimmt. Es sollte natürlich k = 3 in die Formel eingesetzt werden. ^^

Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die "richtigen" 3 Läufer auszuwählen, berechnet sich nach der Formel:

[mm]\vektor{n \\ k}[/mm]

= [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm] = 56

  
Die Wahrscheinlichkeit die richtigen drei zu tippen ist damit  [mm]\frac{1}{56}[/mm] .

  
Weiter. Da die drei Läufer in k! bzw. 3! = 6 verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können, und davon eine Reihenfolge die "richtige" ist, und die anderen 5 Reihenfolgen "falsche" sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eine der falschen Reihenfolgen zu erhalten  [mm] \bruch{5}{6} [/mm] .
  
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm]E_2:[/mm] "Es werden die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen Reihenfolge" berechnet sich:  

[mm]P(E_2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{56}*\bruch{5}{6}[/mm] = [mm]\bruch{5}{336}[/mm] .

Danke & einen sonnigen Sonntag!

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