Lage von Gerade und Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von g und E. Bestimmen sie ggf. den Durchstoßpunkt.
b) g: [mm] \vektor{22 \\ -18 \\ -7}+ [/mm] t [mm] \vektor{4 \\ 1\\-5}
[/mm]
E: [mm] \vektor{2\\ 1\\0} [/mm] + r [mm] \vektor{4 \\ -7\\1} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 4\\-3} [/mm] |
Nachdem ich g und E gleichgesetz habe, kam folgendes in der Lösungsmatrix raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -0.5 & -2 \\ 0 & 1 & -0.5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die letzte Zeile zeigt, dass es sich um keinen Schnittpunkt zw. Gerade und Ebene handelt, das eine lineare Abhängigkeit besteht.
Also überprüfe ich als nächstest, ob die Gerade in der Ebene liegt (???)
Dafür setzte ich den Ortsvektor der Geraden mit der Ebene gleich und erhalte folgene Lösungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
also erhalte ich fuer r= 5 und s=4
Doch was genau sagt mir das Ergebnis? und wie überrüfe ich dann ggf. eine Parallität?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Di 17.11.2009 | | Autor: | glie |
> Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von g und
> E. Bestimmen sie ggf. den Durchstoßpunkt.
> b) g: [mm]\vektor{22 \\ -18 \\ -7}+[/mm] t [mm]\vektor{4 \\ 1\\-5}[/mm]
> E:
> [mm]\vektor{2\\ 1\\0}[/mm] + r [mm]\vektor{4 \\ -7\\1}[/mm] + s [mm]\vektor{0 \\ 4\\-3}[/mm]
>
> Nachdem ich g und E gleichgesetz habe, kam folgendes in der
> Lösungsmatrix raus:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -0.5 & -2 \\ 0 & 1 & -0.5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Die letzte Zeile zeigt, dass es sich um keinen Schnittpunkt
> zw. Gerade und Ebene handelt, das eine lineare
> Abhängigkeit besteht.
>
> Also überprüfe ich als nächstest, ob die Gerade in der
> Ebene liegt (???)
> Dafür setzte ich den Ortsvektor der Geraden mit der Ebene
> gleich und erhalte folgene Lösungsmatrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> also erhalte
> ich fuer r= 5 und s=4
>
> Doch was genau sagt mir das Ergebnis? und wie überrüfe
> ich dann ggf. eine Parallität?
Hallo,
ich würde das ja anders machen.
Wenn du das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) kennst, kannst du doch ganz leicht einen Normalenvektor der Ebene E bestimmen und die Koordinatenform der Ebene E bestimmen:
[mm] $\vektor{4 \\ -7\\1}\times \vektor{0 \\ 4\\-3}=\vektor{17 \\ 12 \\ 16}$
[/mm]
Damit gilt:
[mm] $E:\vektor{17 \\ 12 \\ 16}\circ (\vec{x}-\vektor{2\\ 1\\0})=0$
[/mm]
Also erhalten wir:
[mm] $E:17x_1+12x_2+16x_3-46=0$
[/mm]
Hier kann man jetzt bequem die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts einsetzen:
$17*(22+4t)+12*(-18+t)+16*(-7-5t)-46=0$
$374+68t-216+12t-112-80t-46=0$
$0=0$
So hier entscheidet es sich jetzt!
Bekommst du eine allgemeingültige Aussage heraus, wie zum Beispiel $0=0$, dann schneiden sich Gerade und Ebene für jeden beliebigen Wert von t, das heisst, die Gerade liegt in der Ebene!
Bekommst du einen Widerspruch heraus, wie zum Beispiel $5=0$, dann schneiden sich Gerade und Ebene nie! Die Gerade ist dann echt parallel zur Ebene.
Bekommst du einen Wert für t heraus, wie zum Beispiel $t=5$, dann schneiden sich Gerade und Ebene genau in DEM Punkt, den man auf der Gerade für den Parameterwert $t=5$ erhält.
Fertig. Alle Fälle abgedeckt. Kein einziges Gleichungssystem nötig.
Gruß Glie
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$ [mm] E:\vektor{17 \\ 12 \\ 16}\circ (\vec{x}-\vektor{2\\ 1\\0})=0 [/mm] $
wie du auf die erste spalte gekommen bist ist klar. jedoch weiss ich nicht was dieses o nach der ersten spalte heisst.
sonst finde ich den weg wirklich gut und bedanke mich dafür!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 17.11.2009 | | Autor: | glie |
[mm] $\circ$ [/mm] ist das Skalarprodukt.
[mm] $\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}\circ \vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
[/mm]
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