Lage von Geraden mit Parameter < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:40 Mo 17.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
hier kommt ein Original-Aufgabenteil zur linearen Algebra meiner Vorklausur für mein ABi im Mai. Diese stelle ich zu allgemeinen Diskussion, da ich gerne noch andere Lösungswege kennenlernen will.
Mfg Krisu112
| Aufgabe | Gegeben ist eine Gerade g: x= [mm] \vektor{-3 \\ t \\ t-1} [/mm] +s [mm] \vektor{t^2-6\\t-1\\t^2-2} [/mm]
Untersuchen sie die Lage (Schnittpunkte, identisch, parallel, windschief) der Geraden g zur Geraden AB
A(-3/2/1) und B(-1/1/-1) |
Hoffe, das einige interessante Lösungaansetze dabei rauskommen. Im Voraus vielen Dank für eure Mitarbeit
mfg krisu112
mein Lösungaansatz:
1. Gleichsetzten der Geraden AB und der Geraden g
2- auflösen des LGS in abhängigkeit von t (ich habe meine Variablen der Gearden s und r eleminiert)
daraus folgt: [mm] 3t^3-8t^2-4t+16
[/mm]
mit dem Horner-Schema kann ich mit Hilfe einer Nullstelle eine weitere Nullstelle finden und die Funktion 3 Grades auf 2 Grades reduzieren
t1=2
Mit der pq Formel kann ich dann die restlichen Nullstellen berechnen
t2=-4/3
t3=2
das egibt dann beim einsetzten in due Gleichung:
t=2 gAB und g sind identisch
t=-4/3 gAB und g sind eindeutig, d.h Schnittpunkt
Für alle anderen t gilt: windschief
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:40 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo krisu!
Es wäre aber auch sehr interessant gewesen, wenn Du uns Deine Ansätze geliefert hättest.
Berechnen wir zunächst den Richtungsvektor der Geraden [mm] $\overline{AB}$ [/mm] mit [mm] $\vec{r} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-1-(-3)\\1-2\\-1-1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\-1\\-2}$ [/mm] .
Parallelität oder Identität liegt vor bei Kollinearität der beiden Richtungsvektoren:
[mm] $\vektor{t^2-6\\t-1\\t^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \lambda*\vektor{2\\-1\\-2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\lambda\\-\lambda\\-2\lambda}$
[/mm]
Diese ergibt als Lösungspaar: [mm] $\lambda [/mm] \ = \ -1$ und [mm] $\blue{t \ = \ 2}$ [/mm] .
Um nun den Unterschied zwischen Parallelität und Identität zu überprüfen, setzen wir einen der beiden Punkte $A_$ oder $B_$ in die Geradengleichung von [mm] $g_t$ [/mm] ein:
[mm] $\vektor{-3\\2\\1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\ \blue{2} \\ \blue{2}-1}+s*\vektor{\blue{2}^2-6\\ \blue{2}-1 \\ \blue{2}^2-2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{3\\ 2 \\ 1}+s*\vektor{-2\\ 1 \\ 2}$ $\gdw$ $\vektor{-6\\0\\0} [/mm] \ = \ [mm] s*\vektor{-2\\ 1 \\ 2}$
[/mm]
Dieses Gleichungssystem liefert keine eindeutige Lösung für den Parameter $s_$ (1. Zeile: $s \ = \ 3$, 2.+3. Zeile: $s \ = \ 0$). Von daher kann nie Identität vorliegen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 17.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
ich hab meine Lösung jetzt auch mal zugefügt, jedoch Lothar hat da eine andere!
Bitte um weitere Lösungsvorschläge. Im Voraus danke
mfg Krisu
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Hi, krisu,
Deine Rechnung ist richtig, Deine Interpretation bezüglich des Ergebnisses ebenfalls.
Loddar hat sich bei der Berechnung des Aufpunktes von [mm] g_{2} [/mm] vertan: Die erste Koordinate muss -3 sein, nicht 3.
Aber: Berechnet hätt' ich das Ganze genauso wie er!
(Nur halt hoffentlich ohne Leichtsinnsfehler!)
Für die Berechnung desjenigen Wertes, für den die Geraden sich schneiden
(Was meinst Du hier übrigens mit: "die Geraden sind eindeutig"?) hätte ich dann mit Determinante gearbeitet; aber was soll's: Auch bei mir kommt dann t=-4/3 raus.
Und in allen anderen Fällen gilt: windschief!
Weiter so, krisu!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 17.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
hab mich da schlecht ausgedrückt!!
Natürlich sind die Geraden nicht eindeutig, sondern das Ergebnis ist eindeutig und daraus folgt letztendlich der Schnittpunkt!!
Würde es dir vielleicht etwas ausmachen deine Lösung auch zu erläutern, da ich den ersten Vorschlag nicht richtig nachvollziehen konnte?
MFG Krisu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 18.04.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, krisu,
> Würde es dir vielleicht etwas ausmachen deine Lösung auch
> zu erläutern, da ich den ersten Vorschlag nicht richtig
> nachvollziehen konnte?
Nö, macht mir nix aus!
Also: Zunächst alles wie bei Loddar!
Und dann die Determinante aus den Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor der Aufpunkte, also:
[mm] \vmat{ t^{2}-6 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t-2 \\ t^{2}-2 & -2 & t-2 }
[/mm]
= [mm] (t^{2}-6)*(-1)*(t-2) +2*(t-2)*(t^{2}-2) +2*(t-2)(t^{2}-6) [/mm] - (t-2)(t-1)*2
Hier klammere ich nun (t - 2) aus, was die Rechnung vereinfacht:
= [mm] (t-2)*(-t^{2}+6 +2t^{2}-4 +2t^{2}-12 [/mm] - 2t + 2)
= [mm] (t-2)*(3t^{2} [/mm] - 2t - 8)
Wenn man dies nun =0 setzt, erhält man die Lösungen: [mm] t_{1/2} [/mm] = 2 und [mm] t_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{3}
[/mm]
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Vielen Dank hat mir echt weitergeholfen!!!!!
mfg Krisu112
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