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Hallo,
ich möchte die Schnittgerade von 2 Ebenen ermitteln:
E1: [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 4 }+r \vektor{2 \\ 1 \\ 3 }+ [/mm] s [mm] \vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
E2: [mm] \vektor{4 \\ 9\\9}+t \vektor{1 \\ 2\\5}+u \vektor{0 \\ 1\\1}
[/mm]
Ich verzweifle an dieser Aufgabe - ich weiß zwar die Lösung: g: [mm] \vektor{2 \\ 7\\1}+k \vektor{1 \\ 0\\3} [/mm] und auch das Rechenprinzip:
Gleichsetzten der beiden Ebenen- LGS mit 4 Unbekannten- Auflösen in Abhängigkeit von u- dann Einsetzen in E2 und man erhält die Schnittgerade... aber ich stell mich einfach zu schuselig an, heißt mach irgendwu einen dummen Rechenfehler oder hab noch einen Verständnisfehler.
Es wäre fantastisch wenns hier jemand mal mit Rechenschritten vorrechnen könnte, die Matrix von mir aus auch gerne mit Hilfe des Taschenrechners.
Viele Grüße Sascha
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Hi, Sascha,
also: Ich mag die Methode mit dem Gleichungssystem gar nicht!
Daher mein Vorschlag:
Wandle eine Ebene (z.B. [mm] E_{1}) [/mm] in die Koordinatenform um,
setz' die andere ein,
lös' nach einem der beiden Parameter auf und
setz' in die entsprechende Ebene ein: Voila!
Also:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}\times \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 1}.
[/mm]
[mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 1} \circ (\vec{x}-\vektor{4 \\ 8 \\ 4}) [/mm] = 0
[mm] E_{1}: -3x_{1}+3x_{2}+x_{3}-16=0
[/mm]
Nun wird [mm] E_{2} [/mm] eingesetzt:
-3(4+t) + 3(9+2t+u) + (9+5t+u) - 16 = 0
-12 - 3t + 27 + 6t + 3u + 9 + 5t + u - 16 = 0
8t + 4u + 8 = 0
u = -2 - 2t
Eingesetzt in [mm] E_{2} [/mm] und umgeformt ergibt sich:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 7} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
PS: Dass es sich um dieselbe Gerade handelt, die Du als Lösung kennst, siehst Du folgendermaßen ein:
(1) Der Richtungsvektor ist derselbe!
(2) Wenn Du in "meiner" Gleichung für t = -2 setzt, kriegst Du den Punkt P(2; 7; 1), also "Deinen" Aufpunkt.
Klaro?
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Hallo Erwin
Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich kann alles ab der Koordinatenform wunderbar nachvollziehen, nur mit der Umwandlung der Parametergleichung in die Normalenform komm ich noch nicht klar - was hast du da gerechnet?
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}\times \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ 1}.[/mm]
Nochmal Vielen Dank
Sascha
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Für die Normalenform brauchst du ja einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das Kreuzprodukt/Vektorprodukt zweier Vektoren liefert andererseits einen Vektor, der senkrecht auf diesen beiden Vektoren steht. Also hat er einfach das Kreuzprodukt der beiden Vektoren berechnet, die die Ebene aufspannen und so einen Normalenvektor bestimmt!
Gruß
Tran
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