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| Aufgabe | Aufgabe: Die Lagerkapazitäten eines Unternehmens sind aufgrund von Umbauarbeiten für eine bestimmte Zeit eingeschränkt. Die normale Gewinnfunktion lautet:
f(x,y) = 160x – 3x² - xy – 2y² + 240y – 665
mit x = Menge von Produkt 1 und y = Menge von Produkt 2 . Die eingeschränkte Lagerfläche beträgt nun 40m². Produkt 1 benötigt 1m² und Produkt 2 benötigt 2m² Lagerfläche pro Einheit. Gesucht sind die Mengen beider Produkte, die unter Berücksichtigung der eingeschränkten Lagerfläche zum maximalen Gewinn führen. |
Lösung der Aufgabe mithilfe des Lagrange-Verfahrens:
1) die Lagrange-Funktion haben wir schon ermittelt:
L(x,y,λ) = 160x – 3x² - xy – 2y² + 240y – 665 + λ (x + 2y – 40)
2) Für die ersten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion gilt:
(∂L(x,y,λ))/∂x = 160 – 6x – y + λ (8)
(∂L(x,y,λ))/∂y = – x – 4y + 240 + 2λ (9)
(∂L(x,y,λ))/∂λ = x + 2y - 40 (10)
3) Wir müssen die ersten partiellen Ableitungen gleich Null setzen:
160 – 6x – y + λ = 0 (8)
– x – 4y + 240 + 2λ = 0 (9)
x + 2y – 40 = 0 (10)
Der Taschenrechner liefert die Lösung: x = 10 y = 15 λ = – 85
In der zur Aufgabe gehörigen Lösung steht:
Unter der Annahme, dass die stationäre Stelle [mm] (x_0, y_0) [/mm] = (10,15) zum Gewinnmaximum führt, handelt es sich um die gesuchte Maximalstelle.
Meine Frage dazu:
Ist Folgendes richtig?: mithilfe der Lagrange-Funktion kann ich nur die stationäre Stelle (den Kandidaten für Minimum oder Maximum) ermitteln.
Ob es ein Minimum oder ein Maximum ist, liefert die Lagrange-Funktion jedoch nicht.
D.h. für die Maximum-Bestimmung kann ich mit der Lagrange-Funktion nur die notwendige Bedingung bearbeiten, nicht die hinreichende.
Ist das richtig so? Kann ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegen wie im eindimesionalen
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Hiho,
> Meine Frage dazu:
> Ist Folgendes richtig?: mithilfe der Lagrange-Funktion
> kann ich nur die stationäre Stelle (den Kandidaten für
> Minimum oder Maximum) ermitteln.
Nein.
> Ob es ein Minimum oder ein Maximum ist, liefert die
> Lagrange-Funktion jedoch nicht.
Doch, wenn du weiter machen würdest und die zweite Ableitung untersuchst, kannst du auch darüber Aussagen treffen.
> D.h. für die Maximum-Bestimmung kann ich mit der
> Lagrange-Funktion nur die notwendige Bedingung bearbeiten,
> nicht die hinreichende.
> Ist das richtig so? Kann ein Minimum, ein Maximum oder ein
> Sattelpunkt vorliegen wie im eindimesionalen
Das Vorgehen wäre genauso wie im Eindimensionalen: Zweite Ableitung untersuchen.
Das ist hier halt die Hesse-Matrix.
Gruß,
Gono
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