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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 30.08.2011 | | Autor: | anjab |
| Aufgabe | | Ein Farmer hat eine bestimmte Zaunlänge (P=2x + 2y) zur Verfügung und möchte eine größtmögliche Fläche WQeideland (A= x*y) einzäunen. X ist die Breite und Y die Länge. Bestimmen Sie X und Y im Optimum. |
Mein Rechenweg:
P=2x+2y
NB) A=x*y --> x*y-A=0
Hinweis: lambda = l
L= 2x+2y-l [x*y-A]
Partielle Ableitungen)
dL/dx = 2-l =0
dL/dy = 2-l =0 --> l=2
dL/dl = xy-A=0 --> xy-xy=0
Wie bekomm ich nun x und y raus?
Vielen Dank für jede Hilfe.
Anja
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Moin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ein Farmer hat eine bestimmte Zaunlänge (P=2x + 2y) zur
> Verfügung und möchte eine größtmögliche Fläche
> WQeideland (A= x*y) einzäunen. X ist die Breite und Y die
> Länge. Bestimmen Sie X und Y im Optimum.
> Mein Rechenweg:
> P=2x+2y
> NB) A=x*y --> x*y-A=0
Die NB ist doch P=2x+2y.
>
> Hinweis: lambda = l
[mm] \lambda
[/mm]
>
> L= 2x+2y-l [x*y-A]
Mir ist leider nicht klar, was du damit beabsichtigst.
>
> Partielle Ableitungen)
> dL/dx = 2-l =0
> dL/dy = 2-l =0 --> l=2
> dL/dl = xy-A=0 --> xy-xy=0
>
> Wie bekomm ich nun x und y raus?
Das ist irgendwie Unsinn.
Du hast Die Funktion A(x,y)=x*y, die es unter der Nebenbedingung zu maximieren gilt. Die NB kann man mit einer impliziten Funktion schreiben:
g(x,y)=2x+2y-P
Wir suchen Extrema von A auf der Nullstellenmenge von g.
Da du deine Aufgabe mit Lagrange-Multiplikatoren lösen willst, musst du nun die Gradienten von g und A bestimmen und dann folgendes Gleichungssystem lösen:
[mm] \nabla A(x,y)=\lambda *\nabla [/mm] g(x,y) (*)
2x+2y-P=0 (**)
Hinter (*) verbergen sich zwei Gleichungen und es ist [mm] \lambda [/mm] der Lagrange-Multiplikator.
LG
P.S: Bei dieser relativ einfachen Aufgabe kannst du auch eine der Variablen in A(x,y) durch die andere ersetzen (z. B. x=-y+P/2) und dann normale Bestimmung von Extrema durchführen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 06.09.2011 | | Autor: | anjab |
Hey,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Das war sehr hilfreich!
Auch wenn die Aufgabe relativ simpel ist brauche ich noch Hilfe für den letzten Schritt:
L= x*y - $ [mm] \lambda [/mm] $ [2x+2y]
Bedingung erster Ordnung:
dL/dx= 1- $ [mm] \lambda [/mm] $ =0
dL/dy= 1- $ [mm] \lambda [/mm] $ =0
dL/d $ [mm] \lambda [/mm] $= 2x+2y
Wie bekomm ich nun x und y raus?
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> Hey,
hallo,
> vielen Dank für Deine schnelle Antwort! Das war sehr
> hilfreich!
> Auch wenn die Aufgabe relativ simpel ist brauche ich noch
> Hilfe für den letzten Schritt:
> L= x*y - [mm]\lambda[/mm] [2x+2y]
>
> Bedingung erster Ordnung:
> dL/dx= 1- [mm] \lambda[/mm] =0
> dL/dy= 1- [mm] \lambda[/mm] =0
> dL/d [mm] \lambda [/mm]= 2x+2y
[mm] \frac{d(x*y)}{dx}\not=1
[/mm]
und
[mm] \frac{d(x*y)}{dy}\not=1
[/mm]
>
> Wie bekomm ich nun x und y raus?
edit: hast du nicht irgendwie hb und nb vertauscht? und wo ist das p geblieben?!
gruß tee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Di 06.09.2011 | | Autor: | Lisaa |
Hallo,
wie gesagt wurde, setze doch einfach die NB ein, dann bekommst du:
max L=(p/2-x)*(p/2-Y)
Das dann ableiten nach x und y liefert dir: x=y
Das kannst du in die Zaunbedingung einsetzen: p=4*x
daraus folgt: x=Y=p/4
Grüße Lisa
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