Lagrange + Gleichungssystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche mich an der Lösung einer Aufgabe zu Lagrange. Die Aufgabe habe ich aus dem Buch "Repetitorium der höheren Mathematik". In diesem Buch gibt es zu dieser Aufgabe auch eine Lösung, die ich allerdings nicht ganz nachvollziehen kann.
Gegeben ist die Funktion f(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz, die unter der Nebenbedingung h(x, y, z) = xyz - 32 minimiert werden soll.
Zack zack. Aufstellen der Hilfsfunktion:
L(x, y, z, [mm] \lambda) [/mm] = f(x, y, z) + [mm] \lambda [/mm] h(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz + [mm] \lambda [/mm] xyz - 32 [mm] \lamdba
[/mm]
Jetzt muss ich nach x, y, z und [mm] \lambda [/mm] partiell ableiten.
[mm] \frac{\partial L}{\partial x} [/mm] = y+2z+ [mm] \lambda [/mm] yz (1)
[mm] \frac{\partial L}{\partial y} [/mm] = x+2z+ [mm] \lambda [/mm] xz (2)
[mm] \frac{\partial L}{\partial z} [/mm] = 2x+2y+ [mm] \lambda [/mm] xy (3)
[mm] \frac{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = xyz - 32 (4)
Jetzt muss ich das folgende Gleichungssystem lösen:
(1) = 0
(2) = 0
(3) = 0
(4) = 0
Im Buch wird nicht gezeigt, wie dies geschickt gelöst wird. Es wird einfach nur die Lösung angegeben. Ich habe dieses Gleichungssystem auch selbst gelöst - es war allerdings eine riesige Rechnerei - 1.5 Seiten. Übersehe ich da einen Trick? Es muss ja recht simpel sein sonst würde es ja im Buch gezeigt werden…
Habt ihr eine Idee?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Chris,
> Hallo,
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> ich versuche mich an der Lösung einer Aufgabe zu Lagrange.
> Die Aufgabe habe ich aus dem Buch "Repetitorium der
> höheren Mathematik". In diesem Buch gibt es zu dieser
> Aufgabe auch eine Lösung, die ich allerdings nicht ganz
> nachvollziehen kann.
>
> Gegeben ist die Funktion f(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz, die
> unter der Nebenbedingung h(x, y, z) = xyz - 32 minimiert
> werden soll.
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> Zack zack. Aufstellen der Hilfsfunktion:
>
> $L(x, y, [mm] z,\lambda)=f(x, [/mm] y, z) + [mm] \lambda [/mm] h(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz + [mm] \lambda [/mm] xyz - [mm] 32\lambda$
[/mm]
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> Jetzt muss ich nach x, y, z und [mm]\lambda[/mm] partiell ableiten.
>
> [mm]\frac{\partial L}{\partial x}[/mm] = y+2z+ [mm]\lambda[/mm] yz (1)
> [mm]\frac{\partial L}{\partial y}[/mm] = x+2z+ [mm]\lambda[/mm] xz (2)
> [mm]\frac{\partial L}{\partial z}[/mm] = 2x+2y+ [mm]\lambda[/mm] xy (3)
> [mm]\frac{\partial L}{\partial \lambda}[/mm] = xyz - 32 (4)
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> Jetzt muss ich das folgende Gleichungssystem lösen:
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> (1) = 0
> (2) = 0
> (3) = 0
> (4) = 0
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> Im Buch wird nicht gezeigt, wie dies geschickt gelöst
> wird. Es wird einfach nur die Lösung angegeben. Ich habe
> dieses Gleichungssystem auch selbst gelöst - es war
> allerdings eine riesige Rechnerei - 1.5 Seiten. Übersehe
> ich da einen Trick? Es muss ja recht simpel sein sonst
> würde es ja im Buch gezeigt werden…
>
> Habt ihr eine Idee?
Nun, ich habe es nicht komplett durchgerechnet, aber wenn du mal damit beginnst, das -1fache der 1.Gleichung auf die 2.Gleichung zu addieren und geschickt ausklammerst in der neuen 2.Gleichung, so bekommst du:
[mm] $(x-y)(\lambda [/mm] z+1)=0$, also $x=y$ oder [mm] $\lambda [/mm] z=-1$
Nun unterscheide: 1) $x=y$, das lässt sich doch schnell runterrechnen ...
und 2) [mm] $\lambda [/mm] z=-1$ ...
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> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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