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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:05 Sa 26.07.2008 | | Autor: | eldanielo |
| Aufgabe | Bestimmen sie mit Hilfe von Lagrange alle relativen Extrema von folgender Funktion:
f(x,y) = xy
unter der Nebenbedingung: [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] =1 |
Hey,
tut mir leid dass ich euch hier mit Fragen bombadiere, habe nur gestern ne Menge gerechnet und habe mir alle Fragen notiert um die heute euch zu stellen. 
Wenn man die Lagrange funktion ableitet nach x,y und [mm] \lambda [/mm] erhält man die 3 folgenden Gleichungssysteme:
(I) y + [mm] \lambda [/mm] x = 0
(II) x + 2y [mm] \lambda [/mm] = 0
(III) [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 1 = 0
Leider Gottes kriege ich beim auflösen der Gleichungen nur vollkommenen Müll raus. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen dank schonmal!
eldanielo
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> Bestimmen sie mit Hilfe von Lagrange alle relativen Extrema
> von folgender Funktion:
> f(x,y) = xy
> unter der Nebenbedingung: [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] =1
> Hey,
>
> tut mir leid dass ich euch hier mit Fragen bombadiere, habe
> nur gestern ne Menge gerechnet und habe mir alle Fragen
> notiert um die heute euch zu stellen.
>
> Wenn man die Lagrange funktion ableitet nach x,y und
> [mm]\lambda[/mm] erhält man die 3 folgenden Gleichungssysteme:
>
> (I) y + [mm]\lambda[/mm] x = 0
> (II) x + 2y [mm]\lambda[/mm] = 0
> (III) [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 1 = 0
>
> Leider Gottes kriege ich beim auflösen der Gleichungen nur
> vollkommenen Müll raus. Kann mir da jemand auf die Sprünge
> helfen?
Hallo,
dann zeig doch mal, was Du zum Auflösen der Gleichungen unternommen hast, onst können wir ja keine vorstellung davon bekommen, was schiefläuft.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo eldanielo!
Forme z.B. Deine 1. Gleichung nach [mm] $\lambda [/mm] \ = \ ...$ auf (Achtung: Sonderfall untersuchen) und setze anschließend in die 2. Gleichung ein.
Gruß
Loddar
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Hey Loddar,
danke für deinen Tipp! Hab jetzt folgende Werte raus.
X = [mm] \pm [/mm] 1
y= [mm] \pm \wurzel{0,5}
[/mm]
Ich hoffe die Ergebnisse sind richtig, aber was sagen die Werte jetzt aus? Wie fahre ich nun fort?
Danke schonmal!
eldanielo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Sa 26.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Werte passen nicht ganz:
Es gilt: [mm] y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Und damit [mm] x=\pm1
[/mm]
Und du hast den Wert für [mm] \lambda [/mm] vergessen....
Es gibt aber noch einen Sonderfall zu beachten, aus
[mm] y+\lambda*x=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*x=-y
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=-\bruch{y}{x} [/mm] (Sonderfall beachten! Welchen?)
Dann gilt aus 2:
[mm] x+2y*\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw x-2y*\bruch{y}{x}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x²-2y²=0
[mm] \gdw [/mm] x²=2y²
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{2}*y
[/mm]
Somit:
[mm] \bruch{x²}{2}+y²-1=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2y²}{2}+y²=1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2y²=1
[mm] \gdw y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Marius
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> Hallo
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> Die Werte passen nicht ganz:
>
> Es gilt: [mm]y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Und damit [mm]x=\pm1[/mm]
Hallo Marius,
den Unterschied zu den Werten, die eldanielo errechnet hatte, hast Du aber nicht so recht herausgearbeitet...
> Und du hast den Wert für [mm]\lambda[/mm] vergessen....
Wieso? Der Wert interessiert doch niemanden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 26.07.2008 | | Autor: | eldanielo |
Hey angela,
hatte [mm] \lambda [/mm] auch aus nicht berechnet weil es mir unwichtig erschien. Gut zu wissen. Dankeschön!
eldanielo
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Hey Marius,
dank dir für deine Hilfe. Für lambda ergibt sich bei mir [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Bei dem Sonderfall den du ansprichst müsste es darum gehen dass unter der Vorraussetzung aufgelöst wird das x [mm] \not= [/mm] 0 ist, oder?
Wie fahre ich nun fort wenn ich die werte ermittelt habe?
Danke schonmal!
eldanielo
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> Wie fahre ich nun fort wenn ich die werte ermittelt habe?
Hallo,
wie ich bereits schrieb: ermittle die Funktionswerte, die zu den kritischen Punkten gehören.
Gruß v. Angela
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> Hey Loddar,
>
> danke für deinen Tipp! Hab jetzt folgende Werte raus.
> X = [mm]\pm[/mm] 1
> y= [mm]\pm \wurzel{0,5}[/mm]
>
> Ich hoffe die Ergebnisse sind richtig, aber was sagen die
> Werte jetzt aus? Wie fahre ich nun fort?
Hallo,
Deine Zahlen als solche stimmen, ich bin mir aber nicht sicher, ob Du das richtig interpretierst.
Nehmem wir mal Marius' Rechnung.
Eins der Zwischenergebnisse ist $ [mm] x=\pm\wurzel{2}\cdot{}y [/mm] $,
und schließlich erhält er $ [mm] y=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ (was im übrigen dasselbe wie [mm] \wurzel{0.5} [/mm] ist.
Du suchst ja die kritischen Punkte, dafür mußt Du nun zu jedem y die passenden x ausrechnen, indem Du das y in [mm] x=\pm\wurzel{2}\cdot{}y [/mm] einsetzt.
1.Fall: [mm] y=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ==> [mm] x=\pm [/mm] 1, also sind (1, [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und (-1, [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] kritische Punkte.
2.Fall: dasselbe für [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , das ergibt ???
Nun willst Du ja noch wissen, wo die Minima und Maxima sind.
Dazu würde ich nun die gefundenen Punkte in die Funktion einsetzen und die Funktionswert berechnen.
Zu dem Sonderfall: ich hoffe, Du weißt, daß man nicht durch 0 dividieren darf und hast diesen Fall gesondert untersucht.
Er führt zu einem Punkt, welcher die Nebenbedingung nicht erfüllt, also nicht infrage kommt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Sa 26.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angela.
Wer richtig lesen kann, ist klar im Vorteil ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Ich habe [mm] \wurzel{0,5} [/mm] als [mm] \wurzel{2} [/mm] interpretiert...
Marius
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