Lagrangesche Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 05.07.2009 | | Autor: | Kainor |
| Aufgabe | | Nach der Lagrangschen Multiplikatorenregel bestimme man die Extrema für die Funktion [mm] f(x,y,z)=y^{3} [/mm] unter den Nebenbedingungen h(x,y,z)=x+z-1=0 und [mm] h(x,y,z,)=x^{2}+y^{2}-4=0. [/mm] |
Die Extrema konnte ich bestimmen jedoch liefert mir die hinreichende Bedingung kein eindeutiges Ergebnis.
Wie kann ich nun die Art der Extrema bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kainor,
> Nach der Lagrangschen Multiplikatorenregel bestimme man die
> Extrema für die Funktion [mm]f(x,y,z)=y^{3}[/mm] unter den
> Nebenbedingungen h(x,y,z)=x+z-1=0 und
> [mm]h(x,y,z,)=x^{2}+y^{2}-4=0.[/mm]
> Die Extrema konnte ich bestimmen jedoch liefert mir die
> hinreichende Bedingung kein eindeutiges Ergebnis.
> Wie kann ich nun die Art der Extrema bestimmen?
Eine Art die Art des Extremas zu bestimmen,
ist natürlich die Funktionswerte miteinander zu vergleichen.
Die andere Art ist, sich dafür ein Kriterium selbst herzuleiten.
Aus den obigen Nebenbedingungen ergeben sich [mm]y\left(x\right), \ z\left(x\right)[/mm]
Dann hast Du die zweite Ableitung der Funktion
[mm]f\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right) + \lambda *h_{1}\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right)+\mu*h_{2}\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right)[/mm]
zu betrachten.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Kainor |
Ich hatte aus meine Script folgende Bedingung benutzt:
[mm] \delta^{T} [/mm] * [mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial x_{i}*\partial x_{j}} [/mm] * [mm] \delta [/mm] > 0 (für relatives Minimum)
[mm] \forall \delta \not= [/mm] 0 , [mm] \delta \in [/mm] T(x)={ [mm] \delta \in \IR^{n}| [/mm] <h'(x), [mm] \delta [/mm] > =0 }
Problem dabei ist dass dabei Null rauskommt. Ich nicht wie weiss ich das anders löse.
MathePower ich weiss nicht genau ob das du damit gemeint hast, zu mindestens habe ich die zweiten Ableitungen betrachtet
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Hallo Kainor,
> Ich hatte aus meine Script folgende Bedingung benutzt:
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> [mm]\delta^{T}[/mm] * [mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial x_{i}*\partial x_{j}}[/mm]
> * [mm]\delta[/mm] > 0 (für relatives Minimum)
>
> [mm]\forall \delta \not=[/mm] 0 , [mm]\delta \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T(x)={ [mm]\delta \in \IR^{n}|[/mm]
> <h'(x), [mm]\delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> =0 }
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> Problem dabei ist dass dabei Null rauskommt. Ich nicht wie
> weiss ich das anders löse.
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> MathePower ich weiss nicht genau ob das du damit gemeint
> hast, zu mindestens habe ich die zweiten Ableitungen
> betrachtet
Nun, auch für Extrema unter Nebenbedingungen gibt es ein Kriterium.
Hier betrachten wir die zweite Aleitung von
[mm] f\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right) + \lambda \cdot{}h_{1}\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right)+\mu\cdot{}h_{2}\left(\ x, \ y\left(x\right), \ z\left(x\right) \ \right)[/mm]
Die auftretenden ersten und zweiten Ableitungen von [mm]y\left(x\right)[/mm]
und [mm]z\left(x\right)[/mm] erhält man aus der Differentiation der Nebenbedingungen.
Gruß
MathePower
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Hallo,
es ist doch so, daß Du Deine Funktion über dem Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene betrachten sollst, also im konkreten Fall über einer Ellipse. Worauf es ankommt: der betrachtete Bereich ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Deine Funktion ist stetig. Also weißt Du, daß sie Min und Max annimmt.
Du mußt nun nur noch die Funktionswerte an den kritischen Stellen vergleichen, dann kennst Du Min und Max.
Gruß v. Angela
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