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| Aufgabe | Zeigen Sie dass
[mm] L_r(x):=\sum _{k=0}^{r}{\frac { \left( -1 \right) ^{k} \left( r! \right) ^{2}{
x}^{k}}{ \left( k! \right) ^{2} \left( r-k \right) !}}
[/mm]
die folgende Differentialgleichung erfüllt:
[mm] xL_r''+(1-x)L_r'+rL_r=0 [/mm] |
Hallo Leute,
meine bisherige Idee war leider nur die Holzhammermethode.
D.h., ich hab versucht die Laguerre Polynome [mm] L_r(x) [/mm] zu differenzieren
um sie dann in die DGL einzusetzen. Aber es will mir nicht gelingen...
Gibt es noch elegantere Methoden um zu zeigen,dass die [mm] L_r(x) [/mm] Lösungen
der DGL sind?
lieber Gruß
richard
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Hallo richardducat,
ich kenne mich mit der Materie zwar nicht sonderlich aus, habe aber im Netz ein wenig gestöbert...
> Zeigen Sie dass
> [mm]L_r(x):=\sum _{k=0}^{r}{\frac { \left( -1 \right) ^{k} \left( r! \right) ^{2}{ x}^{k}}{ \left( k! \right) ^{2} \left( r-k \right) !}}[/mm]
Muss da im Zähler nicht $r!$ stehen, also ohne Quadrat?!
>
> die folgende Differentialgleichung erfüllt:
> [mm]xL_r''+(1-x)L_r'+rL_r=0[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> meine bisherige Idee war leider nur die Holzhammermethode.
> D.h., ich hab versucht die Laguerre Polynome [mm]L_r(x)[/mm] zu
> differenzieren
> um sie dann in die DGL einzusetzen. Aber es will mir nicht
> gelingen...
>
> Gibt es noch elegantere Methoden um zu zeigen,dass die
> [mm]L_r(x)[/mm] Lösungen
> der DGL sind?
Nun, in diesem paper
http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDoQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.matha.rwth-aachen.de%2Fde%2Flehre%2Fws10%2Fpsa%2FSaleev.pdf&ei=wc6gUM6zOc7I0AX_1oDgDg&usg=AFQjCNF1JxFb6lUaxn8TZySe7S9LmIL3sw&cad=rja
wird in Satz(0.3) eine Hilfsfunktion $w(x,t)$ definiert, die die weiteren Rechnungen erleichtert.
Dann schaue dir mal Satz(0.4)d) an mit Beweis.
Wenn du die Gleichung in (0.4)d) dann differenzierst, erhältst du genau deine Aussage ...
Ist das was für dich und/oder reicht das schon?
>
> lieber Gruß
> richard
Gruß
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
vielen Danke für die schnelle Antwort.
Vorab: Das Paper ist sehr ausführlich und sicherlich eine Hilfe.
Aber:
Wir haben die Laguerre-Polynome im Rahmen der Vorlesung zur Quantenmechanik nur gestreift. Und damit fangen die Probleme an.
Die erzeugende Fkt. oder Hilfsfunktion und die Sätze a)-d) im Paper
wurden in der Vorlesung bzw. im dazugehörigen Skript nicht einmal erwähnt, geschweige denn bewiesen.
Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass die ganze Vorarbeit, wie sie in dem Paper geleistet wird, im Rahmen einer zwei Punkte Aufgabe verlangt werden kann.
So muss ich leider nocheinmal die Frage in den Raum werfen, ob es nicht doch eine "schnellere" Vorgensweise gibt?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
da sieht nichts so aus, als würde es sich wesentlich vereinfachen. Es ist wohl doch einfach Schreibarbeit, und nicht wenig. Wenn Du die Summe mit Binomialkoeffizienten umschreibst, vereinfacht das den Rechenprozess auch nicht erheblich.
Zwei Punkte gibt es wohl deswegen "nur", weil es zwar zeitfressend, aber eigentlich nicht schwierig ist.
Allerdings verliert man da schnell den Überblick...
Grüße
reverend
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