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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 So 15.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo.
Ich habe hier eine Aufgabe:
(1 + [mm] x)^{n} [/mm] = 1 + nx + o(x), wenn x [mm] \to [/mm] 0.
Unsere Definition lautet:
A = { [mm] a_{n} [/mm] }, B = { [mm] b_{n} [/mm] }.
Folge A ist "Klein-o" von B, wenn { [mm] a_{n}/ b_{n} [/mm] } eine
Nullfolge ist
Also heißt das doch [mm] a_{n} [/mm] = (1 + [mm] x)^{n} [/mm] und
[mm] b_{n} [/mm] = 1 + nx + o(x),
es heißt doch aber [mm] a_{n} \in [/mm] o( [mm] b_{n} [/mm] ), wäre [mm] b_{n} [/mm] = x????
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} a_{n}/ b_{n} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (1 + [mm] x)^{n}/ [/mm] (1 + nx + o(x)) ,
wenn x gegen null geht, heißt das doch 1/1, also ist der lim [mm] a_{n} [/mm] = 1, also ist es keine nullfolge und somit stimmt das nicht,bzw. stimmt das nicht was ich da gerechnet habe...
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Hallo ThomasK!
Zunächst etwas zum Landau Symbol &omicron - Klein-oh:
Seien f,g: D [mm] \to \IR [/mm] zwei auf der Teilmenge D [mm] \subset \IR [/mm] definierte Funktionen und [mm] x_0 [/mm] ein Berührpunkt von D. Dann schreibt man f(x) = &omicron(g(x)) für x [mm] \to x_0, [/mm] x [mm] \in [/mm] D, falls zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass |f(x)| [mm] \le \epsilon [/mm] |g(x)| für alle x [mm] \in [/mm] D mit |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta. [/mm] Falls g(x) [mm] \ne [/mm] 0 in D, ist dies wieder gleichbedeutend mit [mm] \lim_{D\ \ni \ x \to x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = 0.
Zur Aufgabe:
Du hast [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] und [mm] b_n [/mm] = 1+nx+&omicron(x) angenommen.
In diesem Fall gilt: [mm] a_n(x) [/mm] = [mm] b_n(x) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 (nach Aufgabenstellung).
Setze jedoch [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] -(1+nx), [mm] b_n [/mm] = x, und vergleiche mit der Aufgabenstellung, so siehst du, dass [mm] a_n [/mm] = [mm] o(b_n) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0.
Dann gilt:
[mm] \lim_{x \ \to \ 0}a_n(x) [/mm] = [mm] \lim_{x \ \to \ 0}((1+x)^n [/mm] -(1+nx))
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}(( \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}\cdot x^k) [/mm] - (1+nx))
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}( [/mm] 1+nx+ {n [mm] \\ 2}x^2+...+{n \choose n-2}x^{n-2}+nx^{n-1}+x^n)-(1+nx)) [/mm]
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}\sum_{k=2}^{n}{n \choose k}x^{n-k} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lim_{x \ \to \ 0}a_n(n) [/mm] = 0.
Also ist [mm] a_n [/mm] tatsächlich eine Nullfolge für x [mm] \to [/mm] o.
Ich hoffe deine Frage ist beantwortet.
gruss
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 16.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Eine Frage hab ich da noch.
man muss doch den [mm] \limes_{n\rightarrow 0}a_{n}/b_{n} [/mm] berechnen, dann würde man [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] 0/x bekommen, also [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] 0/0 und das ist ja nicht definiert....
Warum hast du aber nur den Limes von [mm] a_{n} [/mm] berechnet?
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Hallo.
Mein Beitrag von vorhin, erweitert und Schreibfehler korrigiert:
Du hast geschrieben:
"... wenn x gegen null geht, heißt das doch 1/1, also ist der lim $ [mm] a_{n} [/mm] $ = 1, also ist es keine nullfolge und somit stimmt das nicht,bzw. stimmt das nicht was ich da gerechnet habe... "
Setze [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] -(1+nx), [mm] b_n [/mm] = x, und vergleiche mit der Aufgabenstellung, so siehst du, dass [mm] a_n [/mm] = [mm] o(b_n) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0.
Dann gilt:
[mm] \lim_{x \ \to \ 0}a_n(x) [/mm] = [mm] \lim_{x \ \to \ 0}((1+x)^n [/mm] -(1+nx))
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}(( \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}\cdot x^k) [/mm] - (1+nx))
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}( [/mm] 1+nx+\ [mm] {n\choose 2}x^2+...+{n \choose n-2}x^{n-2}+nx^{n-1}+x^n)-(1+nx))
[/mm]
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}\sum_{k=2}^{n}{n \choose k}x^{n-k} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lim_{x \ \to \ 0}a_n(x) [/mm] = 0.
Also ist [mm] a_n [/mm] tatsächlich eine Nullfolge für x [mm] \to [/mm] o.
Ich habe diesen Limes berechnet, um zu zeigen, dass [mm] a_n(x) [/mm] eine Nullfolge für x [mm] \to [/mm] 0 ist.
"... man muss doch den $ [mm] \limes_{n\rightarrow 0}a_{n}/b_{n} [/mm] $ berechnen, dann würde man $ [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] $ 0/x bekommen, also $ [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] $ 0/0 und das ist ja nicht definiert.... "
Jetzt rechnen wir [mm] \lim_{x \ \to \ 0}\bruch{a_n}{b_n}:
[/mm]
[mm] \lim_{x \ \to \ 0}\bruch{a_n}{b_n} [/mm] = [mm] \lim_{x \ \to \ 0}\bruch{\sum_{k=2}^{n} ( {n \choose k} ( x^(n-k) ) }{x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}\bruch{{n\choose 2}x^2+...+{n \choose n-2}(x^(n-2))+n(x^(n-1))+x^n}{x} [/mm] (Wir können kürzen, bevor wir den Grenübergang betrachten)
= [mm] \lim_{x \ \to \ 0}({n\choose 2}x^1+...+{n \choose n-2}(x^{n-3})+n(x^{n-2})+(1x^{n-1})) [/mm] (definiert, da Nenner [mm] \ne [/mm] 0)
= 0.
Gruss,
logarithmus
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