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[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir haben Landausymbole durchgenommen, aber es hat bei mir noch nicht klick gemacht. Wenn mir jemand auch unabhängig von den aufgaben, nochmal kurz zusammenfassend einleuchtend erklären kann, was das genau ist wäre ich auch schon dankbar ^^
zu a)
Leider ist mir nicht klar, wie genau ich auf diese [mm] \Rightarrow [/mm] kommen soll, Wie muss ich das denn umstellen, um auf diese Ergebnisse zu kommen?
zu b)
Hier hatte ich eigentlich ganz nurmal versucht Stetigkeit und Differenziertheit zu beweisen, aber das hatte dann nichts mit den Landausymbolen zu tun und ich weiß nciht, wie ich das damit zeigen kann.
zu c)
ähnlich wie bei a weiß ich nicht, wie das aufzulösen ist, wenn man mir hier nur auf die Sprünge hilft reicht das hoffentlich.
Im Voraus schonmal vielen lieben Dank für alle hilfen, die sich anbieten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also $f(x)=O(g(x))$ bedeutet nichts anderes, als dass die Funktion $x [mm] \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] auf einer Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] beschränkt ist. Bei dem $f(x)=o(g(x))$ fällt mir nichts anderes ein, als Dir nochmal zu sagen:
Lies' einfach die Definition 
Bei den Aufgaben wirst Du vermutlich eh keine großartigen Tricks brauchen. Machen wir mal bspw. die
a) i):
Sei dort also $f(x)=o(g(x))$ für $x [mm] \to x_0$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$. [/mm]
Nach Definition des Begriffes Grenzwert (der hier $=0$ ist) gilt dann:
Insbesondere zu $M:=1$ gibt es dann ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] (oder meintwegen auch [mm] $\le \delta$) [/mm] folgt:
[mm] $\vmat{\frac{f(x)}{g(x)}-0} \le [/mm] 1=M$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\vmat{\frac{f(x)}{g(x)}} \le [/mm] 1=M$
Also:
[mm] $\vmat{\frac{f(x)}{g(x)}} \le [/mm] M=1$ gilt für alle $x$ in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$.
[/mm]
(Mit anderen Worten: $x [mm] \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] ist in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] beschränkt.)
Das heißt aber gerade $f(x)=O(g(x))$ bei $x [mm] \to x_0$.
[/mm]
Vielleicht musst Du ein wenig genauer hingucken und die Formulierung verfeinern (sowas wie ggf. verkleinere man [mm] $\delta$), [/mm] aber im Wesentlichen geht das so und bei den anderen Aufgaben analog.
Also:
Bei den Aufgaben:
- Was ist vorausgesetzt? (Bei a) i) war halt nichts anderes vorausgesetzt, als dass [mm] $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ [/mm] sei.)
- Was ist zu zeigen? (Bei a) i) war halt zu zeigen, dass dann ein
$M > 0$ so existiert, dass [mm] $\vmat{\frac{f(x)}{g(x)}} \le [/mm] M$ für alle $x$ aus einer Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] gilt. Dazu sollte man halt die Voraussetzung benutzen und den Begriff "Grenzwert" verinnerlicht haben.)
Und vielleicht auch mal b) i):
$f$ stetig in [mm] $x_0$ $\gdw$ [/mm] $f(x) [mm] \to f(x_0)$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\frac{f(x)-f(x_0)}{1} \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to x_0$
[/mm]
Mit [mm] $h(x):\equiv [/mm] 1$, [mm] $f^{\sim}(x):=f(x)-f(x_0)$ [/mm] steht also:
[mm] $\gdw$ $\frac{f(x)-f(x_0)}{h(x)} \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to x_0$
[/mm]
M.a.W.:
[mm] $\gdw$ $f^\sim(x)=o(h(x))=o(1)$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] mit [mm] $f^\sim$ [/mm] und $h$ von oben, bzw.
[mm] $\gdw$ $(f(x)-f(x_0))=o(1)$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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