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| Aufgabe | Man schreibe folgende Ausdrücke in der Form [mm] f(h)=O(h^m) [/mm] bzw. [mm] o(h^m) [/mm] für h [mm] \in \IR_{+}, [/mm] (h --> 0) mit möglichst großem [mm] m\in \IN:
[/mm]
a) [mm] \bruch{cos(1+h)-cos(1-h)}{2h}+sin(1)
[/mm]
b) [mm] h^2 \wurzel{h}
[/mm]
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wenn ich a) umstelle komme ich auf [mm] \bruch{sin(1)+sin(1+h)}{2h}+sin(1)
[/mm]
Aber wie komme ich nun weiter?
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b) ist trivial, musst nur noch den Exponenten "bestimmen".
Zur a): Du solltest cos und sin als ![[]](/images/popup.gif) Reihen ausdrücken und dann mal schauen... (Tipp: für das Rechnen mit O sind nur die ersten paar Reihenglieder interessant).
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bei b) hab ich nach umformen [mm] \bruch{5}{2}-ln(c)\le [/mm] m. Jetzt soll ja m so griß wie möglich sein. Wenn c gegen 0 geht kann ich so ein m nicht wählen. Wenn c beliebig ist, ist es von c abhängig. In welchem O liegt denn nun der term?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Do 17.04.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
a) Der erste Summand ist die Ableitung der Cosinus-Funktion im Punkt 1. Somit konvergiert der ganze Ausdruck gegen 0 für h gegen Null und daher m=0 wäre eine Lösung für o und O. Es ist nun mal die Herausforderung das größte m zu finden. Unter den natürlichen Zahlen gibt es eigentlich nur m=1 und evtl. m=2 als Kandidaten.
b) Der Ausdruck ist einfach [mm] h^{1,5}, [/mm] da hast du das Problem fürs O gelöst. Jetzt musst du fürs o ein möglichst großes natürliches m so wählen, dass
[mm] \left|\bruch{h^{1,5}}{h^{m}}\right|\rightarrow [/mm] 0 für h gegen Null.
Gruss,
dormant
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