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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 05.09.2010 | | Autor: | Ac-Flo |
| Aufgabe | Es wird x -> 0 btrachtet. Geben sie das größte p [mm] \in \IR [/mm] an, so dass
[mm] cos(x^2)-1= O(x^{p}) [/mm] gilt:
a) 2 b) 3 bis h) 9 |
Habe mit Landau so meine Probleme. Das Prinzip besagt doch, dass ich eine Funktion angeben soll, "die immer größer", als die zu betrachtende Funktion sein soll? Leider komme ich auf keinen Trichter was ich da nun berechnen soll. Läuft das über |f(x)/g(x)| für [mm] x-\delta\lex\lex+\delta [/mm] ? Ich habe das Gefühl, dass die Sache super einfach ist, ich komm nur nicht dahinter  . Ein Ansatz WAS ich genau berechnen wäre super.
Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mo 06.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es wird x -> 0 btrachtet. Geben sie das größte p [mm]\in \IR[/mm]
> an, so dass
> [mm]cos(x^2)-1= O(x^{p})[/mm] gilt:
>
> a) 2 b) 3 bis h) 9
Du sollst also eins von a) bis h) ankreuzen? Oder wie soll ich die Aufgabe verstehen?
> Habe mit Landau so meine Probleme. Das Prinzip besagt
> doch, dass ich eine Funktion angeben soll, "die immer
> größer", als die zu betrachtende Funktion sein soll?
> Leider komme ich auf keinen Trichter was ich da nun
> berechnen soll. Läuft das über |f(x)/g(x)| für
> [mm]x-\delta\lex\lex+\delta[/mm] ? Ich habe das Gefühl, dass die
> Sache super einfach ist, ich komm nur nicht dahinter .
> Ein Ansatz WAS ich genau berechnen wäre super.
Nun, es gilt $f(x) = O(g(x))$, falls [mm] $\limsup_{x\to0} |\frac{f(x)}{g(x)}| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist.
Hier ist $g(x) = [mm] x^p$ [/mm] und $f(x) = [mm] \exp(x^2) [/mm] - 1$. Da hier $f$ und $g$ stetig sind, ist der Limes Superior gleich dem Limes selber.
Versuch doch mal [mm] $\lim_{x\to0} \frac{\exp(x^2) - 1}{x^p}$ [/mm] auszurechnen -- dazu wendest du L'Hospital an und machst Fallunterscheidungen (falls $p$ zu klein wird).
Dann siehst du schnell, was fuer $p$ gelten muss, damit der Grenzwert nicht [mm] $\pm \infty$ [/mm] ist.
LG Felix
>
> Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:31 Di 07.09.2010 | | Autor: | Ac-Flo |
Hallo,
danke für die Antwort. Habe leider kein Internet zZt. und kann daher erst jetzt antworten bzw. weiter fragen.
> Du sollst also eins von a) bis h) ankreuzen? Oder wie soll
> ich die Aufgabe verstehen?
Ja, man muss ankreuzen.
Zunächst: Du hast aus dem cos in der Aufgabenstellung ein exp gemacht, denke mal, das war ein Tippfehler?! Sonst bin ich jetzt vollkommen verwirrt 
> Versuch doch mal [mm]\lim_{x\to0} \frac{\exp(x^2) - 1}{x^p}[/mm]
> auszurechnen -- dazu wendest du L'Hospital an und machst
> Fallunterscheidungen (falls [mm]p[/mm] zu klein wird).
Habe L'Hospital 2 mal angewendet (exp durch das cos aus der Aufgabenstellung eresetzt) und komme auf [mm] \bruch{-cos(x^2)2\*x\*2\*x-sin(x^2)\*2}{p(p-1)x^(p-2)}
[/mm]
setze p=2 und habe [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] = 0
Habe irgendwie ein ungutes Gefühl dabei. Ich könnte ja, nochmal L'Hospital anwenden und kann dann p=3 setzen und es kommt immer noch 0 raus, usw., bis 9, oder nicht? Was meinst Du mit den Fallunterscheidungen falls es zu klein wird?
Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 10.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Di 07.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Schreib mal die Potenzreihenentwicklung um 0 von
$ [mm] cos(x^2)-1 [/mm] $
hin und teile dann durch [mm] x^p. [/mm]
Nun schau nach für welche p der Limes von $ [mm] (cos(x^2)-1)/x^{p} [/mm] $
für x [mm] \to [/mm] 0 existiert.
FRED
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