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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:11 Di 26.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Ich habe ein Problem, und zwar weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe weitermachen soll.
Aufgabe:
Gegeben sei dir Matrix A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] und die Vektoren x, y [mm] \in \IR^{n}, [/mm] sowie [mm] \mu \in \IR.
[/mm]
Beweise mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes, dass gilt:
det [mm] \pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu} [/mm] = [mm] \mu [/mm] A - [mm] x^{t} [/mm] A* y
wobei A* die komplementäre Matrix von A sein soll.
So ist doch der Laplaceschen Entwicklungssatzes (Entwicklung nach der i-ten Zeile) definiert:
Für ein festes i (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n) gilt:
det(A) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \alpha_{ij} [/mm] det [mm] (A_{ij})
[/mm]
wobei [mm] A_{ij} [/mm] durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
Und so ist die komplementäre Matrix definiert:
Sei A [mm] \in K^{n,n}.
[/mm]
A* [mm] \in K^{n,n}.
[/mm]
A* = [mm] (\alpha_{ij}) [/mm] mit [mm] (\alpha_{ij})* [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji})
[/mm]
x und y sind ja Spalten, also ist [mm] x^{t} [/mm] eine Zeile.
Ich habe nun folgendes gemacht:
det [mm] \pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu} [/mm] = det (B) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \beta_{ij} [/mm] det [mm] (B_{ij})
[/mm]
Kann ich hier sagen, dass meine Matrix B = [mm] \pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu} [/mm] eine 2,2-Matrix ist? wenn ja, dann ist ja n=2 und die Summe läuft von 1 bis 2. Stimmt das?
Nun kann ich doch [mm] (\alpha_{ij})* [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm] umformen zu:
[mm] (-1)^{i+j} [/mm] = [mm] \bruch{(\alpha_{ij})*}{det (A_{ji})} [/mm] und dann es in die Formel oben einsetzen.
det [mm] \pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu} [/mm] = det (B) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \beta_{ij} [/mm] det [mm] (B_{ij}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{(\alpha_{ij})*}{det (A_{ji})} \beta_{ij} [/mm] det [mm] (B_{ij})
[/mm]
Stimmt alles bis hierher? Wie mache ich jetzt konkret weiter?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. danke!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo VHN!
> Aufgabe:
> Gegeben sei dir Matrix A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm] und die Vektoren x,
> y [mm]\in \IR^{n},[/mm] sowie [mm]\mu \in \IR.[/mm]
> Beweise mit Hilfe des
> Laplaceschen Entwicklungssatzes, dass gilt:
> det [mm]\pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu}[/mm] = [mm]\mu[/mm] A - [mm]x^{t}[/mm] A* y
Da stimmt doch was nicht 
[mm] $\mu [/mm] A$ ist doch eine Matrix, und [mm] $x^{t}A^{\*}y$ [/mm] eine Zahl, wie [mm] $\det(\ldots)$ [/mm] ja auch... das passt also irgendwie nicht zusammen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:15 So 01.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
sorry, ich hab mich tatsächlich vertippt!
Die angabe lautet richtig:
det [mm] \pmat{ A & y \\ x^{t} & \mu } [/mm] = [mm] \mu [/mm] det (A) - [mm] x^{t} [/mm] A* y
Ich hoffe, ihr könnt mir jetzt mit der richtigen Angabe weiterhelfen. 
Ich habe ja meinen ansatz mit der richtigen Angabe ja schon gepostet.
Ich weiß aber leider nicht weiter. Bitte helft mir weiter! Danke!
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