Laplace-Experimente < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hi, habe ich mehrere Aufgaben zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit. Bin mir bei manchen nicht so sicher. Ich hoffe, es kann mir geholfen werden.
1) Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um ein Ehepaar?
2) Drei Mädchen und drei Jungen setzen sich auf gut Glück nebeneinander auf eine Bank. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) die drei Mädchen nebeneinander sitzen
b) links außen ein Mädchen sitzt
c) eine bunte Reihe entsteht
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen?
4) 5 Mädchen und 5 Jungen setzten sich auf gut Glück um einen runden Tisch. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine bunte Reihe.
5) In einer Schublade befinden sich 4 schwarze, 6 braune und 2 graue Socken. 2 Socken werden im Dunkeln rausgenommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man 2 gleichfarbige Socken? |
1) Der Nenner ist: [mm] \vektor{12 \\ 2}
[/mm]
Der Zähler ist, da es nur 6 Ehepaare gibt, 6.
2) Wenn man hier nur zwischen Mädchen und Junge unterscheidet, gibt es ja [mm] \bruch{6!}{3! * 3!} [/mm] Möglichkeiten, wie sich die Kinder verteilen können. Falls man zwischen M1, M2, M3, J1, J2, J3 unterscheidet, gibt es 6! Möglichkeiten.
Hier habe ich mich für die erste Möglichkeit entschieden. Also ist der Nenner stets [mm] \bruch{6!}{3! * 3!}.
[/mm]
a) Hier gibt es dann 4 Möglichkeiten, wie sich die Mädchen anordnen können, wenn man die Mädchen einzeln nicht unterscheidet. Wenn man die Mädchen einzeln unterscheidet, würde es 4 * 3! Möglichkeiten geben, oder?
b) Hier weiß ich es nicht, wie man es rechnet, wenn man Die Mädchen und Jungs nicht unterscheidet. Falls man sie unterscheidet, gäbe es 3 * 5! Möglichkeiten
c) Wenn man hier Mädchen und Jungs nicht unterscheidet, gäbe es nur 2 Möglichkeiten. Wenn man sie unterscheidet, dann 2 * (3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1) Möglichkeiten.
Zusammenfassend kann man also sagen, dass bei
a) Unterscheidet: 3,33 %
Nicht unterscheidet: 20 %
b) Unterscheidet: 50 %
Nicht unterscheidet: x %
c) Unterscheidet: 10 %
Nicht unterscheidet: 10 %
3) [mm] (\bruch{1}{12})^{12}. [/mm] Glaube, dass das nicht stimmt, weil sogar die Wahrscheinlichkeit beim Lotto nen 6er zu haben größer ist.
4) Für den Nenner habe ich [mm] \bruch{10!}{5! * 5!}. [/mm] Aber wie ich auf den Zähler komme weiß ich nicht. Kann mir jemand Tipps geben für solche ,,Kreisaufgaben"?
5) Der Nenner wäre [mm] \vektor{12 \\ 2}. [/mm] Den Zähler weiß ich leider nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:11 So 15.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
> 1) Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit
> welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um ein Ehepaar?
> 1) Der Nenner ist: [mm]\vektor{12 \\ 2}[/mm]
> Der Zähler ist, da es nur 6 Ehepaare gibt, 6.
Nein. Der Nenner ist korrekt! --- [mm] mm]\vektor{12 \\ 2}[/mm]
[/mm]
Ich ziehe zwei Kugeln von zwölf.
Der Zähler. Ich habe 6 Ehepaare =12 Kugeln. Entweder ich unterteile
[mm] \bruch{\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}}
[/mm]
bzw. das Ehepaar, desssen beide Kugeln gezogen werden und die anderen Ehepaare...
[mm] \bruch{\vektor{2 \\ 2}\vektor{10 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}}
[/mm]
> 3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
> Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen?
> 3) [mm](\bruch{1}{12})^{12}.[/mm] Glaube, dass das nicht stimmt,
> weil sogar die Wahrscheinlichkeit beim Lotto nen 6er zu haben größer ist.
Wie wäre es mit folgendem Ansatz. Für den ersten Geburtstag gibt es noch 12 Möglichkeiten bzw. Monate, für den zweiten Geburtstag noch 11 Möglichkeiten bzw. Monate usw. => Anzahl der Möglichkeiten n!
12!
Die Wahrscheinlichkeit: [mm] \bruch{1}{12!}
[/mm]
Das ist dann tatsächlich niedriger als ein Lottogewinn. 
> 5) In einer Schublade befinden sich 4 schwarze, 6 braune und 2 graue
> Socken. 2 Socken werden im Dunkeln rausgenommen. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit erhält man 2 gleichfarbige Socken?
> 5) Der Nenner wäre [mm]\vektor{12 \\ 2}.[/mm] Den Zähler weiß ich
> leider nicht.
Nenner korrekt. Den Zähler bilde ich wieder wie in Aufgabe 1, in dem ich die Kugeln in Teilmengen unterteile.
4 s
6 b
2 g
Wahrscheinlichkeit für das (An-) Ziehen zweier schwarzer Socken:
[mm] \bruch{\vektor{4 \\ 2}\vektor{6\\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}}
[/mm]
usw.
insgesamt muss ich also berechnen
[mm] \bruch{\vektor{4 \\ 2}\vektor{6\\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{4 \\ 0}\vektor{6\\ 2}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{4 \\ 0}\vektor{6\\ 0}\vektor{2 \\ 2}}{\vektor{12 \\ 2}}
[/mm]
Gruß
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:38 So 15.06.2008 | | Autor: | Complex |
Hallo!
Ich komme da z.T. auf andere Lösungen als hase-hh.
Aufgabe 1:
> > 1) Der Nenner ist: [mm]\vektor{12 \\ 2}[/mm]
> > Der Zähler ist, da es nur 6 Ehepaare gibt, 6.
Das ist imho richtig.
Andere Lösungsmöglichkeit: Eine der 12 Personen wird gezogen. Dann sind noch 11 Personen übrig. Davon ist genau eine der Ehepartner / die Ehepartnerin der zuerst gezogenen Person. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch {1}{11}[/mm]. Das ist das gleiche wie [mm]\bruch{6}{{12 \choose 2}} = \bruch {6}{66}[/mm] .
> Ich habe 6 Ehepaare =12 Kugeln. Entweder ich unterteile
> [mm]\bruch{\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}}[/mm]
Das wäre hingegen [mm]\bruch{1}{66}[/mm]. Das wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ehepaar gezogen wird. Wenn man, wie gefordert, die Wahrscheinlichkeit will, dass irgendein Ehepaar gezogen wird, muss man mit diesem Lösungsansatz dann nehmen:
[mm]\bruch{\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} + \bruch{\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} + \bruch{\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} +[/mm]
[mm]+\bruch{\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} + \bruch{\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} + \bruch{\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}}{\vektor{12 \\ 2}} = 6*\bruch{1}{66}=\bruch{1}{11}[/mm]
Aufgabe 3:
> Wie wäre es mit folgendem Ansatz. Für den ersten Geburtstag
> gibt es noch 12 Möglichkeiten bzw. Monate, für den zweiten
> Geburtstag noch 11 Möglichkeiten bzw. Monate usw. =>
> Anzahl der Möglichkeiten n!
>
> 12!
Soweit richtig. Jetzt muss man aber imho folgendermaßen weitermachen: Die Gesamtzahl der möglichen "Geburtstags-Verteilungen" ist [mm]12^{12}[/mm]. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{12!}{12^{12}}[/mm]. Das ist dann aber mehr als die Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen.
Diese Lösung stimmt mit der unter Wikipedia: Geburtstagsparadoxon überein.
Bei Aufgabe 5 komme ich auf die gleiche Lösung wie hase-hh.
Gruß
Complex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Mo 16.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin complex!
1) Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um ein Ehepaar?
das hatte ich übersehen, ich muss natürlich die Wahrcheinlichkeiten für die Ziehung von Ehepaar1, Ehepaar2 usw. addieren!
[mm] \bruch{\vektor{2\\ 2}\vektor{2\\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0}\vektor{2\\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0}\vektor{2\\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0}\vektor{2\\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0}\vektor{2\\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}\vektor{2 \\ 0}}{\vektor{12 \\ 2}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{2\\ 0}\vektor{2\\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 0}\vektor{2 \\ 2}}{\vektor{12 \\ 2}}
[/mm]
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen?
Danke für den Hinweis. Keine Ahnung vom Geburtstagsparadoxon.
Die Frage wäre dann nur, warum ich das bei Ziehung von z.B. drei Preisen von 10 Losen u.ä. nicht mache!
Gruß
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 So 15.06.2008 | | Autor: | Complex |
Hallo nochmal!
Die Aufgaben 1, 3 und 5 sollten ja aus hase-hhs und meinem vorherigen Posting gelöst sein. Es bliebe noch...
Aufgabe 2
> 2) Wenn man hier nur zwischen Mädchen und Junge
> unterscheidet, gibt es ja [mm]\bruch{6!}{3! * 3!}[/mm]
> Möglichkeiten, wie sich die Kinder verteilen können. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls man zwischen M1, M2, M3, J1, J2, J3 unterscheidet,
> gibt es 6! Möglichkeiten.
Nachdem in den Aufgabenstellungen zwischen den einzelnen Jungen und Mädchen nicht unterschieden wird, ist es eigentlich überflüssig, diese Unterscheidung zu machen. Gehen tut aber natürlich beides.
> a) Hier gibt es dann 4 Möglichkeiten, wie sich die Mädchen
> anordnen können, wenn man die Mädchen einzeln nicht
> unterscheidet.
> Nicht unterscheidet: 20 %
> Wenn man die Mädchen einzeln unterscheidet,
> würde es 4 * 3! Möglichkeiten geben, oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bei deiner Festlegung der Gesamtanzahl der Möglichkeiten zu 6! unterscheidest du ja sowohl die einzelnen Mädchen als auch die Jungen. Das musst du hier dann natürlich auch machen. Du hast aber mit dem 3! fälschlicherweise nur die Mädchen unterschieden.
Die richtige Anzahl der Möglichkeiten ist also [mm]4*\left (3!*3! \right)[/mm] und damit die Wahrscheinlichkeit
[mm]\bruch{4*(3!*3!)}{6!}=\bruch{144}{720}=0,2[/mm].
> b) Hier weiß ich es nicht, wie man es rechnet, wenn man Die
> Mädchen und Jungs nicht unterscheidet. Falls man sie
> unterscheidet, gäbe es 3 * 5! Möglichkeiten
> b) Unterscheidet: 50 %
Man kann es sich auch ganz einfach machen und sagen: Die Jungen und Mädchen verteilen sich auf der Bank ja "auf gut Glück". Also muss die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Platz ein Mädchen sitzt, für jeden Platz gleich groß sein. Es gibt genauso viele Mädchen wie Jungen. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{2}[/mm].
> c) Wenn man hier Mädchen und Jungs nicht unterscheidet,
> gäbe es nur 2 Möglichkeiten.
> Wenn man sie unterscheidet,
> dann 2 * (3 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 * 1) Möglichkeiten.
> c) Unterscheidet: 10 %
> Nicht unterscheidet: 10 %
> 4) Für den Nenner habe ich [mm]\bruch{10!}{5! * 5!}.[/mm]. Aber wie
> ich auf den Zähler komme weiß ich nicht. Kann mir jemand
> Tipps geben für solche ,,Kreisaufgaben"?
Da muss ich vorerst passen, Kreisaufgaben mag ich auch nicht sonderlich. Ich hätte aber einen "Tipp" für die Lösung, der wäre
[mm]\bruch{1}{\bruch{\bruch{10!}{5! * 5!}}{9}}=\bruch{1}{28}[/mm]
Wieso das so sein könnte, kann ich aber nicht wirklich begründen.
|
|
|
| |
|
Zunächst mal eines vorweg:
Ich sehe immer wieder, dass solche Aufgaben hier mit der Schreibweise [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] gelöst werden.
Das ist zwar mathematisch korrekt, aber irgendwie auch wiederum umständlich und wenig vorstellbar.
(Man würde die Fläche eines einfachen Rechtecks ja auch nicht mit Hilfe der Integralrechnung ermitteln wollen, obwohl das durchaus möglich wäre)
Meines Erachtens sollte man "logischer" daran gehen.
Zum Aufgabe 4 - der Runde Tisch:
Da der Tisch rund ist, ist es völlig egal, an welcher Stelle man anfängt und ob das erste Kind ein Junge oder Mädchen ist. Man hat also ein Freilos. Nehmen wir der Einfachheit halber an, es sei ein Junge.
Das Kind rechts von ihm muss dann ein Mädchen sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist [mm] \bruch{5}{9}.
[/mm]
(1 Junge ist ja schon weg, so dass es noch 5 Mädchen und 4 Jungen zur Auswahl gibt)
Das nächste Kind muss ein Junge sein: Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{4}{8}.
[/mm]
Und so setzt man dann das Ganze fort:
[mm] \bruch{5}{9}*\bruch{4}{8}*\bruch{4}{7}*\bruch{3}{6}*\bruch{3}{5}*\bruch{2}{4}*\bruch{2}{3}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1}
[/mm]
Oder Aufgabe 5:
Da würde ich ein Baumdiagramm zeichnen:
Schwarz + Schwarz = [mm] \bruch{4}{12}*\bruch{3}{11}
[/mm]
Braun + Braun = [mm] \bruch{6}{12}*\bruch{5}{11}
[/mm]
Grau + Grau = [mm] \bruch{2}{12}*\bruch{1}{11}
[/mm]
Das rechnest du aus (Brüche multiplizieren), und dann addierst du die Ergebnisse.
Ob man das alles auch in der Form [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ausdrücken kann - mag sein, das weiß ich nicht. Aber mal ehrlich: würdest du das dann besser verstehen?
|
|
|
|
