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| Aufgabe | | Gesucht ist die inverse LAPLACE-Transformierte der Funktion: [mm] F_{(s)}= \bruch{e^{(-\pi*s)}*(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo und guten Abend!
Könnte mir bitte jemand bei o. g. Aufgabe behilflich sein??
Folgenden Ansatz habe ich:
- Den Therm [mm] e^{(-\pi*s)} [/mm] kann ich herausheben uns sofort invers transformieren: [mm] F_{S1}=e^{(-\pi*s)} [/mm] ==> [mm] f_{t1}= \delta(t-\pi) [/mm] (Dirac Delta Funktion)
Danach bleibt mir noch der Therm [mm] \bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm] Sieht schon besser aus als die Angabe aber noch nicht wirklich gut...
Ich habe nun eine Partialbruchzerlegung versucht - Ergebniss: Dieser Therm lässt sich nicht weiter zerlegen!
Nun habe ich diesen Therm folgendermaßen aufgespalten: [mm] \bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(s^2+4*s+5)}-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)}
[/mm]
Nun kann ich den ersten der Beiden Therme Rücktransformieren und zwar: [mm] F_{S2}=\bruch{1}{(s^2+4*s+5)} [/mm] ==> [mm] f_{t2}=e^{-2*t}*sin(t)
[/mm]
Soweit richtig???
Naja sieht ja schon wieder ein bisschen besser aus als am Anfang, nur leider habe ich nun den Therm [mm] -\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)} [/mm] mit dem ich einfach nichts anzufangen weiß!!
Hätte hier bitte jemand einen Tipp über das weitere Vorgehen bzw. über den bisherigen Lösungsansatz für mich???
Danke und Lg
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Hallo handballer1988,
> Gesucht ist die inverse LAPLACE-Transformierte der
> Funktion: [mm]F_{(s)}= \bruch{e^{(-\pi*s)}*(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo und guten Abend!
>
>
> Könnte mir bitte jemand bei o. g. Aufgabe behilflich
> sein??
>
> Folgenden Ansatz habe ich:
>
> - Den Therm [mm]e^{(-\pi*s)}[/mm] kann ich herausheben uns sofort
> invers transformieren: [mm]F_{S1}=e^{(-\pi*s)}[/mm] ==> [mm]f_{t1}= \delta(t-\pi)[/mm]
> (Dirac Delta Funktion)
>
> Danach bleibt mir noch der Therm
> [mm]\bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm] Sieht schon besser aus als die
> Angabe aber noch nicht wirklich gut...
>
> Ich habe nun eine Partialbruchzerlegung versucht -
> Ergebniss: Dieser Therm lässt sich nicht weiter zerlegen!
>
> Nun habe ich diesen Therm folgendermaßen aufgespalten:
> [mm]\bruch{(1-2*s)}{(s^2+4*s+5)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(s^2+4*s+5)}-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
>
> Nun kann ich den ersten der Beiden Therme
> Rücktransformieren und zwar: [mm]F_{S2}=\bruch{1}{(s^2+4*s+5)}[/mm]
> ==> [mm]f_{t2}=e^{-2*t}*sin(t)[/mm]
>
> Soweit richtig???
>
Ja.
> Naja sieht ja schon wieder ein bisschen besser aus als am
> Anfang, nur leider habe ich nun den Therm
> [mm]-\bruch{2*s}{(s^2+4*s+5)}[/mm] mit dem ich einfach nichts
> anzufangen weiß!!
>
> Hätte hier bitte jemand einen Tipp über das weitere
> Vorgehen bzw. über den bisherigen Lösungsansatz für
> mich???
>
Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:
[mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]
Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:
[mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]
> Danke und Lg
>
Gruss
MathePower
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Hallo!
> Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:
>
> [mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]
Genau so ist es!
>
> Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:
>
> [mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]
>
Wenn ich das richtig verstanden habe, hätte ich den Zähler -2*s zerlegt in:
-2*(s+2)+4
Der "neue" Therm würde dan lauten:
[mm] \bruch{-2*(s+2)+4}{((s+2)^2+1)}
[/mm]
Wenn ich nun noch den Nenner in die Therme (-2*(s+2)) und (4) zerlege und die Rücktransformation durchführe erhalte ich:
[mm] f_{t3}=-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t))
[/mm]
Und für die Gesamttransformation:
[mm] f_{t} [/mm] = [mm] (\delta(t-\pi))*(e^{-2\cdot{}t}\cdot{}sin(t)-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t)))
[/mm]
[mm] f_{t} [/mm] = [mm] (\delta(t-\pi))*e^{-2*t}*(5*sin(t)-2*cos(t))
[/mm]
Ist das so korrekt??
Vielen vielen Dank für diesen Ansatz! Wäre alleine im Leben bicht darauf gekommen! Nur wenn man des Ergebniss sieht, scheint es logisch!!
Lg
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Hallo handballer1988,
> Hallo!
>
>
> > Den Nenner hast Du offenbar so zerlegt:
> >
> > [mm]s^{2}+4s+1=\left(s+2\right)^{2}+1[/mm]
>
> Genau so ist es!
>
> >
> > Zerleger nun den Zähler [mm]-2s[/mm] genau auf diese Weise:
> >
> > [mm]-2s=a*\left(s+2\right)+n[/mm]
> >
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, hätte ich den
> Zähler -2*s zerlegt in:
> -2*(s+2)+4
>
> Der "neue" Therm würde dan lauten:
>
> [mm]\bruch{-2*(s+2)+4}{((s+2)^2+1)}[/mm]
>
> Wenn ich nun noch den Nenner in die Therme (-2*(s+2)) und
> (4) zerlege und die Rücktransformation durchführe erhalte
> ich:
>
> [mm]f_{t3}=-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t))[/mm]
>
> Und für die Gesamttransformation:
>
> [mm]f_{t}[/mm] =
> [mm](\delta(t-\pi))*(e^{-2\cdot{}t}\cdot{}sin(t)-2*e^{-2*t}*(cos(t)-2*sin(t)))[/mm]
>
> [mm]f_{t}[/mm] = [mm](\delta(t-\pi))*e^{-2*t}*(5*sin(t)-2*cos(t))[/mm]
>
> Ist das so korrekt??
>
Für die Argumente der Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktion
ist t entsprechend durch [mm]t-\pi[/mm] zu ersetzen.
> Vielen vielen Dank für diesen Ansatz! Wäre alleine im
> Leben bicht darauf gekommen! Nur wenn man des Ergebniss
> sieht, scheint es logisch!!
> Lg
>
Gruss
MathePower
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Super, Danke!
Endlich gelöst!
Letzte Frage noch:
Warum muss ich anstatt (t) [mm] (t-\pi) [/mm] einsetzten??
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Hallo handballer1988,
> Super, Danke!
>
> Endlich gelöst!
>
> Letzte Frage noch:
>
> Warum muss ich anstatt (t) [mm](t-\pi)[/mm] einsetzten??
Weil Du eine Verschiebung um [mm]\pi[/mm] hast.
Gruss
MathePower
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