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| Aufgabe | Lösung der DGL
y''+y=4t [mm] \cdot e^t
[/mm]
mittels Laplace-Tranformation. Anfangswerte sind:
y(0)=-2
y'(0)=0 |
Ich habe die DGL in den Bildbereich transferiert, sodass dort steht:
[mm] Y(s)=4\cdot \frac{1}{(s-1)^2}\cdot \frac{1}{s^2+1}-\frac{2}{s^2+1}
[/mm]
Den Teil vor dem Minuszeichen habe ich über das Faltungsprodukt gelöst, sodass sich folgendes Integral ergibt:
[mm] 4te^t\cdot \integral_{0}^{t}{e^{-u} \cdot sin(u) du}
[/mm]
Mein Ergebnis lautet dann:
[mm] y(t)=4te^t[(\frac{1}{2}e^{-u}\cdot(-sin(u)-cos(u))+\frac{1}{2}] [/mm] - [mm] 2\cdot [/mm] cos(t)
Mein Dozent gibt als Lösung an:
y(t)= [mm] 2te^t-2e^t
[/mm]
Ich versteh das nicht, wie kommt er da drauf?
Das Faltungsprodukt ist doch richtig hier oder?
Verzweifelte Grüße
Centurio
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=395615
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Hallo Centurio,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösung der DGL
>
> y''+y=4t [mm]\cdot e^t[/mm]
>
> mittels Laplace-Tranformation. Anfangswerte sind:
> y(0)=-2
> y'(0)=0
> Ich habe die DGL in den Bildbereich transferiert, sodass
> dort steht:
>
> [mm]Y(s)=4\cdot \frac{1}{(s-1)^2}\cdot \frac{1}{s^2+1}-\frac{2}{s^2+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Den Teil vor dem Minuszeichen habe ich über das
> Faltungsprodukt gelöst, sodass sich folgendes Integral
> ergibt:
>
> [mm]4te^t\cdot \integral_{0}^{t}{e^{-u} \cdot sin(u) du}[/mm]
>
> Mein Ergebnis lautet dann:
>
> [mm]y(t)=4te^t[(\frac{1}{2}e^{-u}\cdot(-sin(u)-cos(u))+\frac{1}{2}][/mm]
> - [mm]2\cdot[/mm] cos(t)
>
> Mein Dozent gibt als Lösung an:
>
> y(t)= [mm]2te^t-2e^t[/mm]
>
> Ich versteh das nicht, wie kommt er da drauf?
> Das Faltungsprodukt ist doch richtig hier oder?
Das Faltungsintegral ist nicht ganz richtig.
Das Faltungsintegral lautet
[mm]\integral_{0}^{t}{\tau*e^{\tau}*\sin\left(t-\tau\right) \ d\tau}[/mm]
bzw. nach der Transformation [mm]u=t-\tau[/mm]
[mm]\integral_{0}^{t}{\left(t-u\right)*e^{\left(t-u\right)}*\sin\left(u\right) \ du}[/mm]
[mm]=e^{t}*\integral_{0}^{t}{\left(t-u\right)*e^{-u}*\sin\left(u\right) \ du}[/mm]
[mm]=t*e^{t}*\integral_{0}^{t}{e^{-u}*\sin\left(u\right) \ du}-e^{t}*\integral_{0}^{t}{u*e^{-u}*\sin\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> Verzweifelte Grüße
>
> Centurio
>
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=395615
Gruß
MathePower
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