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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem. Leider wusste ich nicht genau, ob es sich hierbei um ein Problem der Analysis handelt. Hoffe, dass ich hier trotzdem richtig bin.
Folgende Formel habe ich im Bildbereich gegeben:
G(s) = [mm] \frac{K}{s*(1+T*s)}
[/mm]
Nun möchte ich diese in den Zeitbereich umwandeln. Glücklicherweise steht dazu eine fertige Gleichung in meinem Script. Diese lautet:
h(t) = [mm] K*(1-e^{-1/T * t})
[/mm]
Nun habe ich eine zweite Gleichung im Bildbereich, die sich von obiger nur minimal unterscheidet:
G(s) = [mm] \frac{K}{s^2*(1+T*s)}
[/mm]
Diese möchte ich ebenfalls in den Zeitbereich umwandeln. Das Ergebnis lautet:
h(t) = [mm] K*T*(1/T*t-(1-e^{-1/T*t}))
[/mm]
Könnte mir jemand das Vorgehen zur Lösung beider Umwandlungen erklären? Ich wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar, da ich nicht weiß, wie ich vorzugehen habe.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Maiko,
der Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten und der Gleichung im Zeitbereich ergibt sich direkt durch die Bestimmungsgleichung zur inversen Laplace-Transformation. Hier führt man eine Integration auf einer geschlossenen Kurve im Komplexen durch und die Lösung solcher Integrale geschieht elegant durch den Residuensatz, dessen Wert durch die Polstellen der Laplace-Tansformation bestimmt wird. Man würde also eine Partialbruchzerlegung durchführen, die Pole sind dadurch bekannt und man kann das Residuum jeder Teilfunktion bestimmen. Einfacher ist es da wirklich, in den Tabellen nachzuschauen.
Damit komme ich auch gleich zu deiner zweiten Frage, bei der Dir ja bereits auffiel, dass sich beide Transormeirte nur um den Faktor s im Nenner voneinander unterscheiden. Das ist auch gut so, denn der Integralsatz der Laplacetransformation sagt aus, dass die Integration über eine Zeitfunktion sich im Laplace-Bereich als Multiplikation der Transformierten mit dem Faktor $ 1/s $ widerspiegelt. Die gesuchte Zeitfunktion ist also die Integrierte der ersten Zeitfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Maiko |
> Der Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten und
> der Gleichung im Zeitbereich ergibt sich direkt durch die
> Bestimmungsgleichung zur inversen Laplace-Transformation.
> Hier führt man eine Integration auf einer geschlossenen
> Kurve im Komplexen durch und die Lösung solcher Integrale
> geschieht elegant durch den Residuensatz, dessen Wert durch
> die Polstellen der Laplace-Tansformation bestimmt wird. Man
> würde also eine Partialbruchzerlegung durchführen, die Pole
> sind dadurch bekannt und man kann das Residuum jeder
> Teilfunktion bestimmen.
Ok, soweit ist mir das klar. Meiner Meinung nach ist das meist aber der umständlichere Weg.
> Einfacher ist es da wirklich, in
> den Tabellen nachzuschauen.
Genau. Ich denke, dass man auf diese Weise bei den meisten Aufgaben am schnellsten zur Lösung gelangen kann.
> Damit komme ich auch gleich zu deiner zweiten Frage, bei
> der Dir ja bereits auffiel, dass sich beide Transormeirte
> nur um den Faktor s im Nenner voneinander unterscheiden.
> Das ist auch gut so, denn der Integralsatz der
> Laplacetransformation sagt aus, dass die Integration über
> eine Zeitfunktion sich im Laplace-Bereich als
> Multiplikation der Transformierten mit dem Faktor [mm]1/s[/mm]
> widerspiegelt. Die gesuchte Zeitfunktion ist also die
> Integrierte der ersten Zeitfunktion.
Danke für den Hinweis.
Nun würde mich aber dennoch interessieren, wie du nun schrittweise bei der Lösung der Aufgabe vorgehen würdest. Nehmen wir an, du hast die Funktion im Bildbereich gegeben und möchtest das ganze nicht über Integrieren mit Hilfe des Residuensatzes lösen.
Wie gehst du nun vor? Welche Korespondenzen verwendest du?
Da ich das noch nicht ausführlich gemacht habe, fällt es mir sehr schwer beim ersten Mal gleich auf die richtige Lösung zu kommen. Könntest du mir ein paar konkrete Schritte zur Lösung nennen? Wie gehe ich bei dieser Aufgabe Schritt für Schritt vor? Kannst du mir da helfen?
Ich wäre dir sehr dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Maiko,
jetzt habe ich mal meinen Bronstein von 1979 rausgeholt und da finde ich im Kapitel über die Laplace-Transformation folgenden Zusammenhang:
Zu [mm] $\bruch{1}{s\cdot (s+a)} [/mm] $ gehört im Zeitbereich die Funktion $ [mm] \bruch{1}{a} \cdot (1-e^{-at}) [/mm] $. Man müsste also nun Deine Funktion
$$ [mm] \bruch{K}{s \cdot (1+Ts)} [/mm] $$ in die oben angegebene Funktion umformen. Klammert man K aus und dividiert den Bruch im Zähler und Nenner durch T, so kommt man auf die Form
$$ [mm] \bruch{K}{T} \cdot (\bruch{1}{s \cdot (s+\bruch{1}{T})}). [/mm] $$ Ein Vergleich mit der Korrespondenz ergibt, dass hier $$ a = [mm] \bruch{1}{T} [/mm] $$ gilt, und das führt direkt zu Deiner Gleichung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Do 04.05.2006 | | Autor: | Maiko |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Du hast mir sehr weitergeholfen.
Grüße
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