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Hallo alle zusammen,
ich soll folgende Terme auswerten:
a) L[e^(-4t)*sin(2t+3)](s)
b) [mm] L^{-1}[(s^2+s+1)/(s(s+1)^2)] [/mm] (t)
Fange ich gleich mal mit Aufgabe 1a) an.
Ich weiß wie ich den ersten Teil ausdrücken kann sprich:
L[e^(-4t)](s)=1/(s+4) aber wie bekomme ich dieses sin(2t+3) auseinander. Ich kenne zwar L[sin [mm] at](s)=a/(s^2+a^2) [/mm] aber nicht für den oben genannten Term.
Wolframalpha spuckt mir als alternativ für sin(2t+3)=-sin(3) [mm] sin^2(t)+sin(3) cos^2(t)+2 [/mm] cos(3) sin(t) cos(t) aus das könnte ich vermutlich auflösen, oder gibt es da einen etwas einfacheren Weg?
gruß Thomy
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> Hallo alle zusammen,
> ich soll folgende Terme auswerten:
>
> a) L[e^(-4t)*sin(2t+3)](s)
> b) [mm]L^{-1}[(s^2+s+1)/(s(s+1)^2)][/mm] (t)
>
> Fange ich gleich mal mit Aufgabe 1a) an.
>
> Ich weiß wie ich den ersten Teil ausdrücken kann sprich:
>
> L[e^(-4t)](s)=1/(s+4) aber wie bekomme ich dieses sin(2t+3)
> auseinander. Ich kenne zwar L[sin [mm]at](s)=a/(s^2+a^2)[/mm] aber
> nicht für den oben genannten Term.
>
> Wolframalpha spuckt mir als alternativ für
> sin(2t+3)=-sin(3) [mm]sin^2(t)+sin(3) cos^2(t)+2[/mm] cos(3) sin(t)
> cos(t) aus das könnte ich vermutlich auflösen, oder gibt
> es da einen etwas einfacheren Weg?
hallo, schau hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation#Allgemeine_Eigenschaften
mal nach dem dämpfungssatz
>
> gruß Thomy
gruß tee
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Vielen dank für die ausführliche Seite.
Jedoch habe ich jetzt eine Frage dazu:
L[e^-4t*f(t)](s)=L[f(t)](s+4) ist das richtig so?
ist jetzt noch f(t)=sin(2t+3) und mus ich noch f(t) irgendwie bearbeiten oder kann es so stehen gelassen werden?
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Ich habe das mal Ausgerechnet:
L[e^(-4t)*sin(2t+3)](s)=L[sin(2t+3)](s+4)=
[mm] (\bruch{-3}{(s+4)^2+9}*\bruch{1}{(s+4)^2+1}*\bruch{1}{(s+4)^2+1})+(\bruch{3}{(s+4)^2+9}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1})+(\bruch{2(s+4)}{(s+4)^2+9}*\bruch{1}{(s+4)^2+1}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1})
[/mm]
Kann das sein? ich hahe für sin(2t+3)=-sin(3) [mm] sin^2(t)+sin(3) cos^2(t)+2 [/mm] cos(3) sin(t) cos(t) benutzt. Muss ich das ganze jetzt noch ausmultiplizieren?!
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Hallo Thomyatberlin,
> Ich habe das mal Ausgerechnet:
>
> L[e^(-4t)*sin(2t+3)](s)=L[sin(2t+3)](s+4)=
>
> [mm](\bruch{-3}{(s+4)^2+9}*\bruch{1}{(s+4)^2+1}*\bruch{1}{(s+4)^2+1})+(\bruch{3}{(s+4)^2+9}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1})+(\bruch{2(s+4)}{(s+4)^2+9}*\bruch{1}{(s+4)^2+1}*\bruch{s+4}{(s+4)^2+1})[/mm]
>
> Kann das sein? ich hahe für sin(2t+3)=-sin(3)
Nein, das kann nicht sein.
> [mm]sin^2(t)+sin(3) cos^2(t)+2[/mm] cos(3) sin(t) cos(t) benutzt.
> Muss ich das ganze jetzt noch ausmultiplizieren?!
Schreibe das doch so:
[mm]\sin\left(2*t+3\right)=\sin\left(2*t\right)*\cos\left(3\right)+\cos\left(2*t\right)*\sin\left(3\right)[/mm]
Und die Laplace-Transformierte von sin(2t) bzw. cos(2t) kannst
Du aus Tabellen ablesen.
Gruss
MathePower
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$ [mm] \sin\left(2\cdot{}t+3\right)=\sin\left(2\cdot{}t\right)\cdot{}\cos\left(3\right)+\cos\left(2\cdot{}t\right)\cdot{}\sin\left(3\right) [/mm] $ Wie sieht es denn für cos(3) aus? Ich habe da keine abhängigkeit von t. ODer ist [mm] cos(3)=s/(s^2+9)???
[/mm]
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> [mm]\sin\left(2\cdot{}t+3\right)=\sin\left(2\cdot{}t\right)\cdot{}\cos\left(3\right)+\cos\left(2\cdot{}t\right)\cdot{}\sin\left(3\right)[/mm]
> Wie sieht es denn für cos(3) aus? Ich habe da keine
> abhängigkeit von t. ODer ist [mm]cos(3)=s/(s^2+9)???[/mm]
cos(3) ist eine konstante
gruß tee
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Das bedeutet die konstane wird 1? oder bleib stehen?
ich habe jetzt: [mm] sin(2t)*cos(3)+cos(2t)*sin(3)=\bruch{2}{s^2+4}*cos(3)+\bruch{s}{s^2+4}*sin(3)
[/mm]
bzw. [mm] sin(2t)*cos(3)+cos(2t)*sin(3)=\bruch{2}{s^2+4}*1+\bruch{s}{s^2+4}*1
[/mm]
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Hallo Thomyatberlin,
> Das bedeutet die konstane wird 1? oder bleib stehen?
Die Konstante bleibt stehen.
>
> ich habe jetzt:
> [mm]sin(2t)*cos(3)+cos(2t)*sin(3)=\bruch{2}{s^2+4}*cos(3)+\bruch{s}{s^2+4}*sin(3)[/mm]
[mm]L \left( \ sin(2t)*cos(3)+cos(2t)*sin(3) \ \right)=\bruch{2}{s^2+4}*cos(3)+\bruch{s}{s^2+4}*sin(3)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bzw.
> [mm]sin(2t)*cos(3)+cos(2t)*sin(3)=\bruch{2}{s^2+4}*1+\bruch{s}{s^2+4}*1[/mm]
>
Gruss
MathePower
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Und jetzt für s nur noch s=(s+4) richtig?
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Hallo Thomyatberlin,
> Und jetzt für s nur noch s=(s+4) richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo Thomyatberlin,
> Vielen dank für die ausführliche Seite.
>
> Jedoch habe ich jetzt eine Frage dazu:
>
> L[e^-4t*f(t)](s)=L[f(t)](s+4) ist das richtig so?
Ja.
>
> ist jetzt noch f(t)=sin(2t+3) und mus ich noch f(t)
> irgendwie bearbeiten oder kann es so stehen gelassen
> werden?
Transformiere f(t) wie gewohnt.
Gruss
MathePower
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b) $ [mm] L^{-1}[(s^2+s+1)/(s(s+1)^2)] [/mm] $ (t) ist quasi jetzt Rückwerts rechnen?
Ich muss wohl die Partialbruchzerlegung anwenden, da ich ja zwei nullstellen habe: s1=-1 s2=0
[mm] \bruch{s^2+s+1}{s^3+2s^2+s}= \bruch{As^2+bs}{(s+1)^2}\bruch{c}{s} [/mm] kann ich mit diesem Ansatz weiter rechnen?
Ne das macht kein Sinn bzw. ich bekomme ein widerspruch raus. C=/=C ...
Aber ich habe jetzt erstmal Polynomdivision durchgeführt, dazu habe ich ein Frage:
[mm] \bruch{s^2+s+1}{s(s^2+2s+1)} [/mm] da ich ich weiß s=0 ein nullstell kan ich dieses [mm] [blue]s[/blue](s^2+2s+1) [/mm] wegfallen lassen richtig?
Dann könnte ich mit diesem Bruch eine PBZ durchführen:
[mm] \bruch{s^2+s+1}{(s^2+2s+1)}=1-\bruch{s}{(s^2+2s+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{s}{(s^2+2s+1)}=\bruch{a}{s+1}\bruch{b}{(s+1)^2}
[/mm]
[mm] |*(s+1)^2
[/mm]
s=as+a+b
a=1
a+b=0 => b=-1
kann das sein?
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Hallo Thomyatberlin,
> b) [mm]L^{-1}[(s^2+s+1)/(s(s+1)^2)][/mm] (t) ist quasi jetzt
> Rückwerts rechnen?
>
> Ich muss wohl die Partialbruchzerlegung anwenden, da ich ja
> zwei nullstellen habe: s1=-1 s2=0
>
>
> [mm]\bruch{s^2+s+1}{s^3+2s^2+s}= \bruch{As^2+bs}{(s+1)^2}\bruch{c}{s}[/mm]
> kann ich mit diesem Ansatz weiter rechnen?
>
> Ne das macht kein Sinn bzw. ich bekomme ein widerspruch
> raus. C=/=C ...
>
> Aber ich habe jetzt erstmal Polynomdivision durchgeführt,
> dazu habe ich ein Frage:
>
> [mm]\bruch{s^2+s+1}{s(s^2+2s+1)}[/mm] da ich ich weiß s=0 ein
> nullstell kan ich dieses [mm][blue]s[/blue](s^2+2s+1)[/mm] wegfallen lassen
> richtig?
>
>
> Dann könnte ich mit diesem Bruch eine PBZ durchführen:
>
> [mm]\bruch{s^2+s+1}{(s^2+2s+1)}=1-\bruch{s}{(s^2+2s+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{s}{(s^2+2s+1)}=\bruch{a}{s+1}\bruch{b}{(s+1)^2}[/mm]
> [mm]|*(s+1)^2[/mm]
>
> s=as+a+b
>
> a=1
>
> a+b=0 => b=-1
>
>
> kann das sein?
Der Bruch ist wie folgt zu zerlegen:
[mm]\bruch{s^2+s+1}{s^3+2s^2+s}= \bruch{A}{s}++\bruch{B}{s+1}+\bruch{C}{\left(s+1\right)^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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