Laplace Experiment < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 25.02.2007 | | Autor: | matheman |
| Aufgabe | Die Tabelle zeigt die Altersverteilung der SchülerInnen einer Jahrgangsstufe. In dieser Jahrgangsstufe soll ein(e) SchülerIn durch Losverfahren ausgewählt werden. Begründe: Das ist ein Laplace-Experiment!
Tabelle: Alter/Anzahl
17/27; 18/75; 19/13; 20/5
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Warum ist das ein Laplace-Experiment? Laut der Definition im Buch gilt:
Laplace-Experiment liegt vor wenn: P(e1)=P(e2)=....P(en).
Die Ergebnismenge S ist doch: S={17,18,19,20}
und P(17)=27/120; P(18)=75/120; P(19)=13/120; P(20)=5/120
Also sind nicht alle Wahrscheinlichkeiten gleich!
Was mache ich falsch? Oder stimmt das Buch nicht?
Gruß
matheman
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Walde |
hi matheman,
> Die Tabelle zeigt die Altersverteilung der SchülerInnen
> einer Jahrgangsstufe. In dieser Jahrgangsstufe soll ein(e)
> SchülerIn durch Losverfahren ausgewählt werden. Begründe:
> Das ist ein Laplace-Experiment!
Ein(e) SchülerIn soll ausgewählt werden.Jede(r) der SchülerInnen hat offenbar die gleiche Chance ausgewählt zu werden, also ist es ein Laplace-Experiment.
>
> Tabelle: Alter/Anzahl
>
> 17/27; 18/75; 19/13; 20/5
>
> Warum ist das ein Laplace-Experiment? Laut der Definition
> im Buch gilt:
> Laplace-Experiment liegt vor wenn: P(e1)=P(e2)=....P(en).
> Die Ergebnismenge S ist doch: S={17,18,19,20}
Nein, so wie die Aufgabe formuliert ist, ist die Ereignismenge gerade die Menge der SchülerInnen.
> und P(17)=27/120; P(18)=75/120; P(19)=13/120; P(20)=5/120
> Also sind nicht alle Wahrscheinlichkeiten gleich!
Es steht nichts davon,dass die Zufallsvariable das Alter des ausgewählten Schülers sein soll, nur der Schüler selbst.
>
> Was mache ich falsch? Oder stimmt das Buch nicht?
Du hast nur die Aufgabenstellung nicht genau gelesen,meine ich.
>
> Gruß
>
> matheman
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 26.02.2007 | | Autor: | matheman |
Hallo Walde,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte beim Abtippen der Aufgabe etwas Zeit sparen wollen und deshalb die eigentliche Aufgabenstellung nicht mitgeschrieben. Mir kam es nur auf die Begründung an, dass (ob) dieses Experiment ein Laplace-Experiment ist.
Die Aufgabenstellung lautet: Wie groß ist die W'keit, dass ein(e) volljährige SchülerIn ausgewählt wird.
Wenn man die Ergebnismenge aufschreibt ist das doch S={17,18,19,20} oder? Ich glaube schon, das es ein Laplace-experiment ist, jedoch kann ich es nicht formal begründen.
Gibt es eine Art Algorithmus mit dem man schnell prüfen kann, ob ein Laplace-Experiment vorliegt?
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Walde |
Achso.
Also du musst unterscheiden zwischen
1.dem blossen auswählen eines Schülers. Das ist ein Laplace-Exp. (dort ist der Ereignisraum die Menge der Schüler und jedes Ereignis ist gleich wahrscheinlich) und danach war auch zunächst gefragt.
> In dieser Jahrgangsstufe soll ein(e)
> SchülerIn durch Losverfahren ausgewählt werden. Begründe:
> Das ist ein Laplace-Experiment!
Die weiterführende Frage nach
2. dem Alter des ausgewählten Schülers, mit der Ereignismenge
[mm] \{17,18,19,20\} [/mm] ist kein Laplace- Exp.mehr,denn wie du schon bemerkt hast,sind die Ereignisse nicht gleich warscheinlich.
Du hast eine Methode zur Überprüfung ob ein L.E. vorliegt eigentlich schon benutzt: Man schaut sich den Ereignisraum an und überlegt, ob alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 26.02.2007 | | Autor: | matheman |
Ok. Das verstehe ich soweit. In der Lösung im Buch steht allerdings nur: Dieses Experiment ist ein Lapace-Experiment. Also kann sich dieser Satz nur auf das Auswählen eines Schülers beziehen.
Aber bei der Berechnung der W'keiten für z.B. P(17) wird doch auf die Laplace-Formel zurückgegriffen?!? (Anzahl günstige Fälle/Anzahl mögliche Fälle). Wieso kann man das? Wenn doch eigentlich kein L.E. vorliegt?
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Di 27.02.2007 | | Autor: | Walde |
> Ok. Das verstehe ich soweit. In der Lösung im Buch steht
> allerdings nur: Dieses Experiment ist ein
> Lapace-Experiment. Also kann sich dieser Satz nur auf das
> Auswählen eines Schülers beziehen.
Ja, genau.
>
> Aber bei der Berechnung der W'keiten für z.B. P(17) wird
> doch auf die Laplace-Formel zurückgegriffen?!? (Anzahl
> günstige Fälle/Anzahl mögliche Fälle). Wieso kann man das?
> Wenn doch eigentlich kein L.E. vorliegt?
Das geht,weil jeder einzelne Fall (jeder Schüler) die gleiche W'keit hat.
Vergleiche mal mit diesem Beispiel, da ist es analog:
Eine Urne mit 5 Kugeln: 2 schwarz, 3 weiss.
Eine Kugel wird gezogen.
Jede Kugel hat die gleiche W'keit gezogen zu werden (Laplace Exp.), aber die W'keit eine schwarze zu ziehen ist [mm] P(schwarz)=\bruch{2}{5} [/mm] Da jede Kugel gleichwahrscheinlich ist, zählt man wieder günstige durch mögliche.
Wäre eine der Kugeln kleiner oder glitschiger als die anderen und würde deshalb gegenüber den anderen benachteiligt sein (im Sinne von:hat eine geringere W'keit gezogen zu werden, dann also kein L.-Exp) dann könnte man nicht einfach günstige durch mögliche abzählen.
Alles klar? 
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 27.02.2007 | | Autor: | matheman |
Ok. Soweit verstanden 
Noch eine weitere Frage dazu:
Wenn man einen fairen Würfel nimmt und die 6 überklebt mit einer 5. Dann habe ich trotzdem ein L.E., oder?
Die Ergebnismenge ist S={1,2,3,4,5}. Oder taucht die 5 2x auf?
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer 5, also für E={5}: P(5)=2/5 ????
Es sollte doch 2/6 sein. Also "fehlt" doch eine 5 in S? Ich komme noch nicht so mit dem formalen Aufschreiben dieser Experimente klar.
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 27.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok. Soweit verstanden
>
> Noch eine weitere Frage dazu:
>
> Wenn man einen fairen Würfel nimmt und die 6 überklebt mit
> einer 5. Dann habe ich trotzdem ein L.E., oder?
> Die Ergebnismenge ist S={1,2,3,4,5}. Oder taucht die 5 2x
> auf?
Nein, in der Ereignismenge taucht jedes Ereignis nur einmal auf, unabhängig von der W.-keit.
> Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer 5,
> also für E={5}: P(5)=2/5 ????
Nein, es ist, wie du schon sagst, [mm] \bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}
[/mm]
> Es sollte doch 2/6 sein. Also "fehlt" doch eine 5 in S?
> Ich komme noch nicht so mit dem formalen Aufschreiben
> dieser Experimente klar.
>
> Gruß
>
> matheman
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 27.02.2007 | | Autor: | matheman |
Hallo,
aber wie schreibe ich das auf? Laut Def. gilt doch
P(E) = # Elmente in E / # Elemente in S
Aber in S befinden sich 5 Elemente.
Also P(E) = 2/5
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Di 27.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du den Würfel so überklebst, hast du allerdings kein Laplace-Experiment mehr. Also gilt nicht mehr:
[mm] P(E)=\bruch{|E|}{|S|}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 27.02.2007 | | Autor: | matheman |
Hm... Was ist, wenn ich dieses Würfelexperiment "umbaue". Ich nehme anstelle des Würfel 6 Kugeln und eine Urne. 5 Kugeln sind von 1 bis 5 durchnummeriert und auf der 6-ten Kugel steht auch 5. Habe ich dann ein L.E.? Wie sind dann S und E?
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 27.02.2007 | | Autor: | Walde |
Hi,
den Würfel werfen/aus der Urne ziehen, das sind Laplace-Exp, da jede Seite/jede Kugel die gleiche W'keit hat geworfen/gezogen zu werden.
Die Ereignismenge dieser Experimente sind die 6 verschieden Seiten/Kugeln und bei L.-Expen ist es wichtig, dass du von dieser Menge ausgehst, wenn du die Anzahl der möglichen Ereignisse zählst. Sie hat 6 Elemente. Jedes dieser Elemente nennt man Elementarereignis. Es ist die Menge der Elementarereignisse.
Deine Zufallsvariable X:"Zahl auf der Würfeloberseite" ordnet jetzt jeder Seite/Kugel eine Zahl zu. In dieser Ergebnismenge kommen nur noch 5 Elemente vor, weil es nur 5 verschiedene Zahlen sind. Das sind aber keine Elementarereignisse mehr. Je nach Zufallsvariable können nämlich auch ganz andere Ergebnismengen entstehen. Hier hast du [mm] \{1,2,3,4,5 \}, [/mm] aber wenn ich eine andere Zufallsvariable "Y:letzter Buchstabe der Zahl" nehme z.B, die den Zahlen Eins,Zwei, Drei ,Vier, Fünf ihren letzten Buchstaben zuordnet, dann hast du als Ergebnismenge [mm] \{s,i,r,f \}. [/mm] Und ich könnte nach der Wahrscheinlichkeit Fragen, dass Y=i auftritt.
Was hat das jetzt mit L-Exp zu tun? Nun, beim L.E. zählt man immer die Anzahl der Elemente in der Elementarereignismenge.
Die ist immer dieselbe, nämlich [mm] \{Seite_1/Kugel_1,\ldots,Seite_6/Kugel_6\}. [/mm]
Und je nach dem, welches Ereignis du bei welcher Zufallsvariablen untersuchst, im Zähler die Anzahl der Elementarereignisse ,für die die Zufallsvariable (X:Zahl auf der Seite), das dich interessierende Ereignis(X=5) zuordnet.
Es gibt z.B. 2 Elementarereignisse(EE) (von insgesamt 6), bei denen die Zufallsvariable X dem jeweiligen Elementarereignis den Wert 5 zuordnet, also [mm] P(X=5)=\bruch{2}{6}
[/mm]
usw., es gibt 2 EE (von 6), bei denen Y den Wert i zuordnet,also
[mm] P(Y=i)=\bruch{2}{6} (zwe\red{i} [/mm] und [mm] dre\red{i}) [/mm] oder [mm] P(Y=r)=\bruch{1}{6} [/mm] oder [mm] P(Y=f)=\bruch{2}{6} [/mm] (es gab zwei Seiten mit [mm] fuen\red{f})
[/mm]
Und das alles geht so, weil alle Seiten/Kugeln mit gleicher W'keit fallen/gezogen werden. Ist der Würfel gezinkt, darf man halt nicht mehr einfach abzählen.
Ok? Das war eventuell etwas kompliziert formuliert. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Quintessenz: Du musst die Elementarereignisse zählen, nicht die, die durch die Zufallsvariable entstehen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 27.02.2007 | | Autor: | matheman |
Hallo walde,
vielen Dank, dass du es so intensiv probierst mir zu helfen.
Kann ich ich das mit dem überklebten Würfel so formulieren:
Ich habe kein L.E. wenn ich mit diesem Würfel werfe. Sehr wohl kann ich aber die Lapace-Formel nehmen, um die W'keit für das Ereignis P(5) zu bestimmen? Und ich kann die L.F. nehme weil ich eben die 6 möglichen Elementarereignisse kenne. Oder ist das Quatsch?
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 27.02.2007 | | Autor: | Walde |
> Hallo walde,
>
> vielen Dank, dass du es so intensiv probierst mir zu
> helfen.
Gern geschehen.
>
> Kann ich ich das mit dem überklebten Würfel so
> formulieren:
>
> Ich habe kein L.E. wenn ich mit diesem Würfel werfe. Sehr
> wohl kann ich aber die Lapace-Formel nehmen, um die W'keit
> für das Ereignis P(5) zu bestimmen? Und ich kann die L.F.
> nehme weil ich eben die 6 möglichen Elementarereignisse
> kenne. Oder ist das Quatsch?
>
> Gruß
>
> matheman
Nee, ich glaub das ist nicht so gut, denn das Werfen des Würfels ist ja ein LE.
Formuliere es doch so in der Art. Das Werfen des Würfels ist ein L.E. da jede Seite mit gleicher W'keit fällt. Es gibt 6 Elementarereignisse, nämlich die sechs Seiten. Also "Anzahl der Möglichen" ist 6. Es gibt 2 Seiten mit Ziffer 5, also 2 "Günstige". P(es fällt [mm] 5)=\bruch{2}{6}
[/mm]
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 27.02.2007 | | Autor: | matheman |
Ok. Wenn ich das nochmal mit den Worten deiner 2. Anwort auf mein (ursprüngliche) Frage fomuliere heißt das: Das bloße Werfen des Würfels ist ein L.E. Die weiterführende Frage nach dem Eintreten des Ereignisses 5 ist kein L.E. mehr, da die W'keiten nicht gleicht sind. So stimmts doch, oder?
Heißt das nicht auch: Egal was ich beim fairen Würfel untersuche (und wenn ich 5 Seiten mit 5 versehe), das Werfen ist und bleibt ein L.E.!
Gruß
matheman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 27.02.2007 | | Autor: | Walde |
> Ok. Wenn ich das nochmal mit den Worten deiner 2. Anwort
> auf mein (ursprüngliche) Frage fomuliere heißt das: Das
> bloße Werfen des Würfels ist ein L.E. Die weiterführende
> Frage nach dem Eintreten des Ereignisses 5 ist kein L.E.
> mehr, da die W'keiten nicht gleicht sind. So stimmts doch,
> oder?
>
> Heißt das nicht auch: Egal was ich beim fairen Würfel
> untersuche (und wenn ich 5 Seiten mit 5 versehe), das
> Werfen ist und bleibt ein L.E.!
>
> Gruß
>
> matheman
Ja, ich denke, so kann man das sagen. Das Schlüsselwort ist "fair"er Würfel.
Wenn du nicht wüsstest woher die Zahlen 1 bis 5 kommen und dass die 5 mit einer anderen W'keit fällt, als die anderen Zahlen, kannst du nicht von einem LE ausgehen. Aber dann hättest du ja auch schon W'keiten für die Ereignisse angegeben und müsstest sie nicht extra ausrechnen.
Es ist ja grade der Witz (Lerninhalt) der Aufgaben, dass du die W'keiten für gewisse Ereignisse ausrechnen kannst, indem du sie auf Elementarereignisse zurückführst, von denen du weisst, dass sie aus einem Laplace-Experiment stammen.
LG walde
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