Laplace Transformation mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 23.03.2008 | | Autor: | Tim82 |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Laplace Transformation löse man das Anwangswertproblem (AWP)
y´´+ y = t , y(0)=y´(0)=0
a)unter Zuhilfenahme des Faltungssatzes
[mm] L^{-1} (F_{1}(s)*F_{2}(s)) [/mm] = [mm] L^{-1} (F_{1}(s)) [/mm] x [mm] L^{-1} F_{2}(s)) [/mm] = [mm] f_{1}(t) [/mm] * [mm] f_{2}(t)
[/mm]
wobei
[mm] f_{1}(t) [/mm] * [mm] f_{2}(t) [/mm] := [mm] \integral_{0}^{t}{f_{1}(u)*f_{2}(t-u) du} [/mm] |
Wie bestimme ich [mm] F_{1}(s) [/mm] bzw [mm] F_{2}(s)?
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Mit Hilfe der Laplace Transformation löse man das
> Anwangswertproblem (AWP)
>
> y´´+ y = t , y(0)=y´(0)=0
Hallo,
es ist offensichlich, dass die DGL y´´+ y = t durch die Funktionen y=t+a*sin(x) und y=t+a*cos(x) erfüllt wird.
Davon gilt y'(0)=0 aber nur beim Kosinus und y(0)=0 dann nur für ein ausgewähltes t.
Das ist zwar nicht die Antwort auf deine Frage, sondern schon fast eine Lösung, aber vielleicht hilft es trotzdem weiter.
Viele Grüße
Abakus
>
> a)unter Zuhilfenahme des Faltungssatzes
> [mm]L^{-1} (F_{1}(s)*F_{2}(s))[/mm] = [mm]L^{-1} (F_{1}(s))[/mm] x [mm]L^{-1} F_{2}(s))[/mm]
> = [mm]f_{1}(t)[/mm] * [mm]f_{2}(t)[/mm]
> wobei
> [mm]f_{1}(t)[/mm] * [mm]f_{2}(t)[/mm] :=
> [mm]\integral_{0}^{t}{f_{1}(u)*f_{2}(t-u) du}[/mm]
> Wie bestimme ich
> [mm]F_{1}(s)[/mm] bzw [mm]F_{2}(s)?[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 23.03.2008 | | Autor: | Tim82 |
Mhh weiterhin die Frage wie ich an die F(s) rankomme... :(
|
|
|
| |
|
Hallo Tim82,
> Mhh weiterhin die Frage wie ich an die F(s) rankomme... :(
Wende erstmal auf die DGL die Laplacetransformation an.
Dann erhältst Du
[mm]L\left\{y\right\}=F\left(s\right)=F_{1}\left(s\right)*F_{2}\left(s\right)=L\left\{f_{1}\left(t\right)\right\}*L\left\{f_2}\left(t\right)\right\}=L\left\{f_{1}\left(t\right)*f_{2}\left(t\right)\right\}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tim82 |
| Aufgabe | Also ich habe nun eine TeilLösung für den Anfang bekommen.
Darin wird wie folgt vorgegangen:
1. Bestimmung des Laplace Bereich
y(s) [mm] s^{2} [/mm] + y(s) = [mm] 1/s^{2}
[/mm]
y(s) = [mm] 1/s^{2} [/mm] * [mm] 1/(s^{2}+1) [/mm] = [mm] F_{1}(s) [/mm] * [mm] F_{2}(s)
[/mm]
|
1. Bestimmung des Laplace Bereich
y(s) [mm] s^{2} [/mm] + y(s) = [mm] 1/s^{2}
[/mm]
hab ich verstanden
y(s) = [mm] 1/s^{2} [/mm] * [mm] 1/(s^{2}+1) [/mm] = [mm] F_{1}(s) [/mm] * [mm] F_{2}(s)
[/mm]
Wie komme ich denn dazu, diese Aussagen für [mm] F_{1}(s) [/mm] und [mm] F_{2}(s) [/mm] zu treffen?? Bzw wie zerlege ich die Bildfunktion in die beiden Teile?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mo 24.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hätte eine Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{1}{s^2*(s^2+1)}=\bruch{1}{s^2}-\bruch{1}{s^2+1} [/mm] vorgenommen.
Die Rücktransformation liefert dann die Lösung
y(t)=t-sin(t)
mfg ullim
|
|
|
|
