Laplace auf arctan(y/x) < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Mo 06.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
| Aufgabe | | [mm] \Delta [/mm] arctan(y/x)=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wenn ich die zweifache Ableitung des f(x,y)=arctan(y/x) zu Fuss ausrechne, erhalte ich [mm] d^{2}/dx^{2}=2*x*y/(x^{2}+y^{2})^{2} [/mm] und [mm] d^{2}/dy^{2}=-d^{2}/dx^{2}, \Deltaarctan(y/x) [/mm] sollte also Null ergeben. Wenn ich nun im diskreten(für ein quadratisches Gitter) den LaplaceOperator mit [mm] \Delta [/mm] f(x,y)={f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4*f(x,y)} ansetze, wird dieser in einem bestimmten Bereich(4x4 Pixel) um die Null(x=0,y=0) herum nicht zu Null. Entweder liegt mein Fehler in der Annahme, [mm] \Deltaarctan(y/x) [/mm] muss immer zu Null werden, oder der Fehler liegt in meinem diskreten LaplaceOperator. Oder er liegt gar ganz wo anders??
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> [mm]\Delta[/mm] arctan(y/x)=0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Wenn ich die zweifache Ableitung des f(x,y)=arctan(y/x) zu
> Fuss ausrechne, erhalte ich
> [mm]d^{2}/dx^{2}=2*x*y/(x^{2}+y^{2})^{2}[/mm] und
> [mm]d^{2}/dy^{2}=-d^{2}/dx^{2}, \Deltaarctan(y/x)[/mm] sollte also
> Null ergeben. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig.
> Wenn ich nun im diskreten(für ein
> quadratisches Gitter) den LaplaceOperator mit
> [mm] $\Delta [/mm] f(x,y)={f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4*f(x,y)}$
> ansetze, wird dieser in einem bestimmten Bereich(4x4 Pixel)
> um die Null(x=0,y=0) herum nicht zu Null. Entweder liegt
> mein Fehler in der Annahme, [mm] \Delta [/mm] arctan(y/x) muss immer zu
> Null werden, oder der Fehler liegt in meinem diskreten
> LaplaceOperator. Oder er liegt gar ganz wo anders??
Hallo LoKiaK,
Erstens: an der Stelle x=0, y=0 ist schon
y/x , also auch arctan(y/x) und [mm] \Delta [/mm] arctan(y/x)
gar nicht definiert. Eigentlich solltest du da
eine Division by Zero Fehlermeldung bekommen.
Zweitens kann man von einem diskretisierten
Verfahren im Allgemeinen nur Näherungswerte
erwarten.
LG Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mo 06.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Ich bin mir beider Dinge bewusst. Atan2() fängt aber die Null/Null-Situation ab, bzw. setzt für diesen Fall einfach Null an. Zum anderen hab ich x=0,y=0 auf die Subpixel gelegt, sodass ich diesen Fall gar nicht erst auftreten lasse.
Die angesprochenen Abweichungen sind relativ groß, jedenfalls zu gross für meine Ansprüche. Ich hoffe, dass es Mittel und Wege gibt, trotz der Ungenauigkeiten/Probleme, die sich durch das Rechnen auf einem diskreten Gitter ergeben, genauer als jetzt sein zu können.
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> Ich bin mir beider Dinge bewusst. Atan2() fängt aber die
> Null/Null-Situation ab, bzw. setzt für diesen Fall einfach
> Null an. Zum anderen hab ich x=0,y=0 auf die Subpixel
> gelegt, sodass ich diesen Fall gar nicht erst auftreten
> lasse.
> Die angesprochenen Abweichungen sind relativ groß,
> jedenfalls zu gross für meine Ansprüche. Ich hoffe, dass
> es Mittel und Wege gibt, trotz der
> Ungenauigkeiten/Probleme, die sich durch das Rechnen auf
> einem diskreten Gitter ergeben, genauer als jetzt sein zu
> können.
Wie schon gesagt: [mm] \Delta{arctan{(y/x)}} [/mm] ist im
Nullpunkt gar nicht definiert. Die Funktion
$\ f(x,y)=arctan(y/x)$ ist dort nicht einmal stetig !
Sie gibt doch (im Bereich x>0) für jeden
vom Nullpunkt aus gehenden Strahl den
Richtungswinkel an. Der Graph von f ist
insgesamt ein Ausschnitt aus einer
doppelten Wendelfläche (analog zu einer
![[]](/images/popup.gif) zweigängigen Wendeltreppe, aber ohne
Stufen). In der zentralen Achse ist
die Fläche singulär. Dort hat die Treppe im
Vatikan wohlweislich ein großes Loch, den
Lichthof. Bei den Wendeltreppen in den
Türmen von Kathedralen ist dort die unan-
genehme Seite des schmalen Gangs mit den
ganz schmalen und steilen Stufen, welche
manche lieber meiden, wenn ihnen jemand
entgegen kommt...
Da kannst du mit noch so hohen Ansprüchen
nichts zusammenwerkeln, das dann doch
glatt wird !
Kleine Nebenfrage: es nimmt mich noch
wunder, wozu du das Ganze brauchst ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mo 06.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Zunächst mal danke für Deine Hilfestellung. Mir ist klar, dass, wenn es nicht geht, es egal ist, das ich will, das es geht!!;)! Und was den "Anspruch" angeht...war falsch formuliert. Ich finde es gerade ernüchternd zu sehen, dass mein schöner Plan nicht aufzugehen scheint. Mein Plan war wie folgt: Laut Helmholz kann man jedes Feld in einen rotierenden bzw nichtrotierenden Anteil zerlegen. Ich benötige für meine Anwendung nur den nichtrotierenden Anteil, sprich: ich muss mein Vektorfeld entwirbeln. Mein Vektorfeld beziehe ich aus einem Skalarfeld, indem ich den Gradienten davon bilde.
allg Hemlholz: Nabla f(x,y)= Nabla x [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + Nabla g(x,y)
entwirbelt: Nabla{Nabla f(x,y)}=Nabla Nabla g(x,y)
sprich: [mm] \Delta [/mm] f(x,y)= [mm] \Delta [/mm] g(x,y)
da: Nabla*{Nabla x [mm] \overrightarrow{A} [/mm] }=0
inm Falle des Vortices(arctan(y/x)) muss [mm] \Delta [/mm] f(x,y)= 0 sein, da das Feld dann nur aus einem rotierenden Anteil besteht! Und da ist der Haken: mein Feld wird um den Kern(ca 4*4 Pixel) nicht Null!
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Vermutlich ist dann einfach die Funktion
f(x,y)=arctan(1/x) kein geeignetes Beispiel,
um mittels Nabla ein "anständiges" Vektor-
feld zu erzeugen.
Sie hat ja nicht nur die Definitionslücke
in O, sondern ist auf der ganzen y-Achse
nicht definiert und ändert beim Übergang
über diese Sprungkante ihren Wert um [mm] \pi.
[/mm]
Um diesen Effekt zu vermeiden, müsste
man von der Wendelfläche nicht nur einen
halben Umgang benützen, sondern die
ganze entsprechende Riemannsche Fläche.
Dann kommt man zu dem Vektorfeld mit
den konzentrisch tangential um O gerich-
teten Vektoren, deren Betrag zum Abstand
von O umgekehrt proportional ist - so
male ich mir das gerade ohne jede Rech-
nung aus. Die Rotation dieses Feldes in O
ist unendlich. Das ist wohl exakt der Grund,
weshalb man es da nicht "entwirbeln" kann.
Vielleicht könnte dieser Link noch etwas
Erhellendes bringen: Helmholtz
Und hier noch eine tolle Darstellung der
einfachen Wendelfläche(Riemannsche
Fläche).
LG Al-Chw.
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> Mein Plan war wie folgt:
> Laut Helmholtz kann man jedes Feld in einen
> rotierenden bzw nichtrotierenden Anteil zerlegen. Ich
> benötige für meine Anwendung nur den nichtrotierenden
> Anteil, sprich: ich muss mein Vektorfeld entwirbeln. Mein
> Vektorfeld beziehe ich aus einem Skalarfeld, indem ich den
> Gradienten davon bilde.
>
> allg Helmholtz: [mm] $\nabla [/mm] f(x,y)= [mm] \nabla \times \overrightarrow{A}+ \nabla [/mm] g(x,y)$
>
> entwirbelt: [mm] $\nabla{\nabla f(x,y)}=\nabla \nabla [/mm] g(x,y)$
> sprich: [mm] $\Delta [/mm] f(x,y)= [mm] \Delta [/mm] g(x,y)$
> da: [mm] $\nabla*{\nabla \times \overrightarrow{A} }=0$
[/mm]
>
> im Falle des Vortices (arctan(y/x)) muss [mm] $\Delta{f(x,y)}=0$ [/mm]
> sein, da das Feld dann nur aus einem rotierenden Anteil
> besteht! Und da ist der Haken: mein Feld wird um den
> Kern(ca 4*4 Pixel) nicht Null!
Guten Abend !
Für das Vektorfeld
[mm] $\vec{R}=\overrightarrow{\nabla}\,arctan2\left(\bruch{y}{x}\right)$
[/mm]
gilt tatsächlich überall ausser im Nullpunkt
(bzw. entlang der z-Achse !)
[mm] $\overrightarrow{rot}\left(\vec{R}\right)=\vec{0}$
[/mm]
Im Nullpunkt konzentriert sich aber gewisser-
massen die ganze geballte (unendliche) Ladung
der Rotation (die Analogie zu einem rotierenden
Schwarzen Loch drängt sich irgendwie auf ...).
Dass deinem Diskretisierungsverfahren dies
trotz der eingesetzten Tricks (Funktionswerte,
die nicht existieren, einfach durch Null ersetzen)
nicht ganz entgeht, ist eigentlich positiv zu werten !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 06.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Hallo!
Die Analogie ist gut, und mir ist bewusst, dass [mm] \Delta [/mm] arctan(y/x) für x,y=0 nicht definiert ist, allerdings versuche ich erst gar nicht die zweifache Ableitung im Nullpunkt zu bilden(wie gesagt, den Nullpunkt hab ich auf die Zwischengitterplätze verbannt). Meine Vermutung dafür, dass ich nahe der Nullstelle, also auf den 4x4 Pixeln nicht ganz unerhebliche Abweichungen vom Sollwert bekomme, ist, dass die Restterme der Taylornäherung der diskreten Approximation des Differentialquotienten dort stärkes Gewicht bekommen, weil der Wertesprung von Pixel zu Pixel dort am größten ist. Sprich: der ganze Schlamassel ist wieder ne Sache der Abtastung. Was mich doch arg nervt, weil ich so nicht sauber trennen kann(rotierenden von nichtrotierenden). Meine Hoffnung ist die, dass wer andres, der vor ähnlichen Problemen stand und sie lösen konnte, mir hier weiterhelfen kann. Oder mir gezeigt wird, dass es nicht geht, was ich mir nicht vorstellen kann, weil Mathe so crazy ist, dass es scheinbar für alles ne Lösung zu geben scheint. Aber genug der Philosophie, ich will Fakten;)
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> Hallo!
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> Die Analogie ist gut, und mir ist bewusst, dass [mm]\Delta[/mm]
> arctan(y/x) für x,y=0 nicht definiert ist, allerdings
> versuche ich erst gar nicht die zweifache Ableitung im
> Nullpunkt zu bilden(wie gesagt, den Nullpunkt hab ich auf
> die Zwischengitterplätze verbannt). Meine Vermutung
> dafür, dass ich nahe der Nullstelle, also auf den 4x4
> Pixeln nicht ganz unerhebliche Abweichungen vom Sollwert
> bekomme, ist, dass die Restterme der Taylornäherung der
> diskreten Approximation des Differentialquotienten dort
> stärkes Gewicht bekommen, weil der Wertesprung von Pixel
> zu Pixel dort am größten ist. Sprich: der ganze
> Schlamassel ist wieder ne Sache der Abtastung. Was mich
> doch arg nervt, weil ich so nicht sauber trennen
> kann(rotierenden von nichtrotierenden). Meine Hoffnung ist
> die, dass wer andres, der vor ähnlichen Problemen stand
> und sie lösen konnte, mir hier weiterhelfen kann. Oder mir
> gezeigt wird, dass es nicht geht, was ich mir nicht
> vorstellen kann, weil Mathe so crazy ist, dass es scheinbar
> für alles ne Lösung zu geben scheint. Aber genug der
> Philosophie, ich will Fakten;)
Du hast geschrieben:
"Laut Helmholz kann man jedes Feld in einen
rotierenden bzw nichtrotierenden Anteil zerlegen."
Die Aussage des Satzes von Helmholtz lautet
erstens ein wenig anders, und er bezieht sich
auch nicht auf alle beliebigen denkbaren Vektor-
felder.
Wenn du also mehr Fakten willst als ich dir
schon geboten habe, müsstest du dich mal
ganz tief in den Satz von Helmholtz, seine
Voraussetzungen und seine möglichen Aus-
nahmen vertiefen.
Ferner kannst du von einer pixelweisen
Diskretisierung sinnvollerweise und ganz
grundsätzlich keine absolut exakten Werte
erwarten. Die "heiklen" Stellen quasi mit
der Pixeldistanz zu überspringen bringt da
nichts. Beim vorliegenden Fall hast du ein
Feld, das in der ganzen Ebene ausser eben
im Nullpunkt rotationsfrei ist. Der rotie-
rende Anteil konzentriert sich im Nullpunkt,
hat aber dort keinen endlichen Wert, sondern
ist unendlich groß.
Ich weiß nicht, weshalb du von einem
Schlamassel spricht, denn es ist doch
eigentlich ganz in Ordnung, dass dem Diskre-
tisationsprozess die wesentliche Singulari-
tät trotz all deiner Bemühungen nicht ganz
durch die Latten (sorry, durch die Pixels)
geht !
LG
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Hallo LoKiaK
Wenn es dir darum geht, den in deinen Augen
etwas unschönen Effekt der Diskretisierung in
der Umgebung von O zu eliminieren oder we-
nigstens zu vermindern, wüsste ich schon Rat:
Nimm für die Berechnung der Differenzen-
quotienten nicht dieselbe Distanz in x- und
y- Richtung wie die Pixeldistanz, sondern z.B.
eine um den Faktor 10 kleinere !
Du musst dir dann nur bewusst bleiben, dass
du zwar eine "schönere" Grafik hast, jedoch
die unendliche Rotation in O damit nicht zum
Verschwinden gebracht hast. Man könnte
dann sagen, dass der rotationsfreie Teil des
Feldes überall ausser in O gleich dem gegebenen
Gradientenfeld ist.
Der Rotationsanteil ist ein Feld, das überall
gleich [mm] \vec{0} [/mm] ist ausser in O, wo es einen
unendlichen Betrag hat. Für solche Zwecke
gäbe es tatsächlich auch ein mathematisches
Mittel: die sogenannten Dirac-Funktionen oder
Distributionen.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Fr 10.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Ich verstehe das mitlerweile so: die Betrachtungen zum Gradienten, zur Divergenz und Rotation gelten immer auf einfach zusammenhängenden Gebieten(s.g. homotopen Gebieten). In diesem Fall gilt der Satz von Stokes und ich kann sagen, dass, wenn ich die zweifache Ableitung vertauschen kann(dxdy=dydx), ich auch wegunabhängig intergieren kann, also keine Rotation vorhanden sein kann. Jetzt fängt meine Unsicherheit aber an. Wenn ich, wie in meinem Fall, kein einfach zusammenhängendes Gebiet habe, weil eine Singularität vorliegt (bei 0,0), dann verschwindet laut Wiki(http://de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft) zwar die Rotation, das Wegintegral allerdings nicht. Was heisst das jetzt? Habe ich jetzt eine Rotation, oder habe ich keine? Oder habe ich, wie Du es ausgedrückt hast, eine unendliche(?) Rotation am Ort der Singularität? Was heisst das für die Helmholtzzerlegung? Bei Wiki(http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Vektoranalysis) heißt es dazu: "Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds,...". Genau das ist ja am Ort der Singularität nicht erfüllt, da das Differential dort meines Erachtens wie die Funktions selbst nicht definiert ist. Also kann ich mein Feld gar nicht von den rotierenden Anteilen befreien?!?
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> Ich verstehe das mittlerweile so: die Betrachtungen zum
> Gradienten, zur Divergenz und Rotation gelten immer auf
> einfach zusammenhängenden Gebieten(s.g. homotopen
> Gebieten).
Du meinst wohl "nullhomotope" Gebiete.
> In diesem Fall gilt der Satz von Stokes und ich
> kann sagen, dass, wenn ich die zweifache Ableitung
> vertauschen kann(dxdy=dydx), ich auch wegunabhängig
> intergieren kann, also keine Rotation vorhanden sein kann.
> Jetzt fängt meine Unsicherheit aber an. Wenn ich, wie in
> meinem Fall, kein einfach zusammenhängendes Gebiet habe,
> weil eine Singularität vorliegt (bei 0,0), dann
> verschwindet laut
> Wiki(http://de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft) zwar
> die Rotation, das Wegintegral allerdings nicht. Was heisst
> das jetzt? Habe ich jetzt eine Rotation, oder habe ich
> keine? Oder habe ich, wie Du es ausgedrückt hast, eine
> unendliche(?) Rotation am Ort der Singularität? Was heisst
> das für die Helmholtzzerlegung? Bei
> Wiki(http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Vektoranalysis)
> heißt es dazu: "Die mathematische Voraussetzung für die
> Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der
> Differenzierbarkeit des Vektorfelds,...". Genau das ist ja
> am Ort der Singularität nicht erfüllt, da das
> Differential dort meines Erachtens wie die Funktions selbst
> nicht definiert ist. Also kann ich mein Feld gar nicht von
> den rotierenden Anteilen befreien?!?
Dein Beispiel ist ja eigentlich genau das in einem
der angegebenen Wiki-Artikel besprochene des
Magnetfelds eines stromdurchflossenen Drahtes.
Insgesamt gesehen ist dieses Feld kein Gradientenfeld,
und offensichtlich herrscht entlang einer kreisförmig
um den Draht laufenden Magnetfeldlinie ein magne-
tischer rotierender "Fluss". Innerhalb jeder Umgebung,
welche die z-Achse meidet, ist aber die Rotation überall
gleich Null. Die genaue "offizielle" Begrifflichkeit für
diese Art Singularität ist mir aber nicht bekannt. Die
Redeweise von einer unendlichen, längs der z-Achse
konzentrierten Rotation war nur mein ganz eigener
Versuch, die Situation in Worte zu fassen.
Vielleicht weiss da ja sonst jemand besser Bescheid.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Fr 10.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Ja, stimmt, nullhomotop!
Das ich Dich zitiert habe, war keine Form der Kritik; ich hätte mir gewünscht, dass Du näher darauf eingehst. Ich finde es nämlich schwierig mir eine auf einen Punkt konzentriert Rotation vorzustellen, zudem eine unendliche. Was mich brennend interessiert ist die Frage, wie ich diese sich auf einen Punkt konzentrierenden Rotationen aus dem Feld herausrechnen kann. Wenn es mittels Helmholtz nicht geht, dann muss es doch anders funktionieren.
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> Ja, stimmt, nullhomotop!
>
> Das ich Dich zitiert habe, war keine Form der Kritik;
... hab gar nix derartiges bemerkt ... 
> ich hätte mir gewünscht, dass Du näher darauf eingehst.
> Ich finde es nämlich schwierig mir eine auf einen Punkt
> konzentriert Rotation vorzustellen, zudem eine unendliche.
> Was mich brennend interessiert ist die Frage, wie ich diese
> sich auf einen Punkt konzentrierenden Rotationen aus dem
> Feld herausrechnen kann. Wenn es mittels Helmholtz nicht
> geht, dann muss es doch anders funktionieren.
Ich glaub' ich habe die Antwort darauf
soeben geschrieben, währenddem du
diese Meldung geschrieben hast ...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Sa 11.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Soweit ich weiss, ist Rotation eine globale Eigenschaft des Feldes. Nur hier scheint sie sich auf einen Punkt zu konzentrieren. Mein Ansatz, die rotierenden Anteile rauszurechnen, ist der, das ich auf jeden Wirbel den inversen raufrechne. Allerdings bezweifel ich, dass das das wahre vom Ei ist. Es muss doch eine andre Möglichkeit gebe. Hat jemand andres ne Idee?
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Versuchen wir das Ganze doch noch rechnerisch
auf den Punkt zu bringen. Der Satz von Stokes
sagt:
[mm] $\integral_F rot\,\vec{A}\,dF\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\partial F}\vec{A}*\overrightarrow{ds}$
[/mm]
Nun nehmen wir für $F$ eine Kreisscheibe um
$O(0/0)$ mit Radius $r$ und für [mm] \vec{A} [/mm] das Feld
[mm] $\vec{A}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\bruch{-y}{x^2+y^2}\\\bruch{x}{x^2+y^2}}$
[/mm]
In jedem Punkt des Kreises [mm] \partial{F} [/mm] hat der Feld-
vektor den Betrag
$\ [mm] |\vec{A}\,|(r)=\bruch{1}{r}$
[/mm]
und ist parallel zu [mm] \overrightarrow{ds}. [/mm] Deshalb muss gelten:
[mm] $\integral_{\partial F}\vec{A}*\overrightarrow{ds}\ [/mm] =\ [mm] 2\,\pi\,r*|\vec{A}\,|(r)\ [/mm] =\ [mm] 2\,\pi$
[/mm]
Dies gilt unabhängig vom Radius. Nun betrachten wir
die linke Seite der Stokes-Gleichung. Die könnten
wir auch so notieren:
[mm] $\integral_F rot\,\vec{A}\ [/mm] dF\ =\ [mm] \overline{R_r}*\,\pi\,r^2$
[/mm]
wobei [mm] \overline{R_r} [/mm] für den Mittelwert der Rotation inner-
halb des Kreises mit Radius $r$ steht. Wir haben
damit die Gleichung:
[mm] $\overline{R_r}*\,\pi\,r^2\ [/mm] =\ [mm] 2\,\pi$
[/mm]
oder
[mm] $\overline{R_r}\ =\bruch{2}{r^2}$
[/mm]
Nun ziehen wir den Kreis zusammen und denken
daran, dass in allen Punkten ausser dem Null-
punkt die Rotation gleich $0$ ist. Die mittlere
Rotation innerhalb des Kreises strebt aber mit
[mm] r\to{0} [/mm] gegen [mm] \infty:
[/mm]
[mm] $\limes_{r\to{0}}\overline{R_r}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{r\to{0}}\bruch{2}{\,r^2}\ [/mm] =\ [mm] \infty$
[/mm]
Die Rede von der "unendlichen Rotation" im
Nullpunkt ist so betrachtet also durchaus
rechnerisch begründbar. Um den rotativen
Teil unseres Beispielfeldes mathematisch
darstellen zu können, wäre eine sogenannte
Delta-Distribution nötig.
So exotisch ist dies übrigens nicht. Wenn
man etwa in der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung den Begriff der Wahrscheinlichkeits-
dichte einführt und ihn dann auch auf Bei-
spiele mit diskreten Verteilungen - also etwa
auf den Wurf eines Würfels - anwendet
(zu diesem Zweck wurde der Begriff aller-
dings nicht erfunden), so hat man an den
Stellen [mm] i\in\{1,2,3,4,5,6\} [/mm] ebenfalls unend-
liche Wahrscheinlichkeitsdichten.
Al-Chwarizmi
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Passend zu den Überlegungen über die vorliegende
"Rotationssingularität" noch dieser Link:
Rotation als infinitesimale Flächendichte der Zirkulation
In der Formel
[mm] $\vec{n}*rot\,\vec{A}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{\Delta{F}\to0}\left(\frac{\integral_{\partial\Delta{F}}dx*\vec{A}}{\Delta{F}}\right)$
[/mm]
wird ziemlich genau das ausgedrückt, was ich
im obigen Beitrag darzustellen versucht habe.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Sa 11.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Der Grund, weshalb ich wissen muss, ob und wie ich diese Punkte unendlicher Rotation loswerden kann, ist der, das ich ein iteratives Verfahren verwende(Gerchberg-Saxton), das mit genau diesen Singularitäten seine Schwierigkeiten hat. Also versuche ich sie herauszurechnen, was auch Erfolg hat, wenn ich, wie gesagt, auf jeden Wirbel den jeweils inversen raufrechne. Nur ist dieses Verfahren viel zu langsam und ich suche eine Alternative. Meine erste Hoffnung war die Helmholtzzerlegung, aber das scheint ja nun auch nicht zu funktionieren, da das Genbiet nicht einfach zusammenhängend ist. Es wäre also nett, wenn sich jemand, der mathematisch bewanderter ist, als ich es bin, mir kurz auf die Sprünge helfen könnte.
P.S. Danke für die Hilfe Al-Chw., aber bislang war noch nicht die Antwort auf die für mich dringenste Frage dabei. Oder sie war es doch und ich hab n Brett vorm Kopf!
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Wenn du weitere Antworten erhoffst,
solltest du eine Frage stellen
und einen angemessenen Zeitrahmen
für die Beantwortung setzen !
LG
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:50 Sa 11.07.2009 | | Autor: | LoKiaK |
Ich verwende einen iterativen Algorithmus(Gerchberg-Saxton) zur Phasenrekonstruktion. Im Verlauf des Prozesses tauchen Singularitäten bzw rotierende Anteile in der Phase auf, die irgendwann dazu führen, dass der Algorithmus stagniert. Mein Versuch, diese rotierenden Anteile mittels der inversen herauszurechnen, ist ziemlich aufwendig. Deshalb folgende Frage(n):
1. Gibt es eine andere Möglichkeit, diese Singularitäten/rotierenden Anteile herauszurechnen?
2. Der rotierende Anteil scheint sich ja nur auf den Ort der Singularität zu beschränken(lokales Phänomen). Trotzdem sind lokale Behandlungsmethoden scheinbar wirkungslos. Warum?
Danke für die Hilfe!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:VaticanMuseumStaircase.jpg&filetimestamp=20050112151109){kind=small}
zweigängigen Wendeltreppe![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/41/Riemann_surface_log.jpg){kind=small}
einfachen Wendelfläche