| 1: | \documentclass[a4paper,DIV8,10pt]{scrartcl}
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| 2: |
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| 3: | \usepackage{ngerman} % fuer die deutschen Trennmuster
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| 4: | % \usepackage{german} % entsprechend fuer die alte Rechtschreibung
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| 5: | \usepackage[latin1]{inputenc} % falls Sie Umlaute in den Quellen verwenden wollen
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| 6: | \usepackage{amsmath} % enthaelt nuetzliche Makros fuer Mathematik
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| 7: | \usepackage{amsthm} % fuer Saetze, Definitionen, Beweise, etc.
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| 8: | \usepackage{amsfonts} % spezielle AMS-Mathematik-Fonts
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| 9: | \usepackage{relsize} % fuer \smaller
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| 10: | \usepackage{tikz} % fuer Graphiken
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| 11: | \usepackage[headinclude]{scrpage2} % fuer die Kopfzeilen
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| 12: |
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| 13: | \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} % natuerliche Zahlen
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| 14: | \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} % ganze Zahlen
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| 15: | \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} % rationale Zahlen
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| 16: | \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} % reelle Zahlen
|
| 17: | \newcommand{\K}{\ensuremath{\mathbb{K}}} % IK
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| 18: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 19: | % Deklaration eigener Satz-/Definitions-/Beweisumgebungen mit amsthm
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| 20: | \newtheorem{satz}{Satz}[section]
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| 21: | \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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| 22: | \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
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| 23: | \theoremstyle{definition}
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| 24: | \newtheorem{definition}[satz]{Definition}
|
| 25: | \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
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| 26: | \newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
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| 27: | \newenvironment{beweis}%
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| 28: | {\begin{proof}[Beweis]}
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| 29: | {\end{proof}}
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| 30: | \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}
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| 31: |
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| 32: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 33: | % Deklaration weiterer Makros
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| 34: | \renewcommand{\labelitemi}{--} % aendert die Symbole bei unnumerierten Aufzaehlungen
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| 35: | \makeatletter % Fussnote ohne Symbol
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| 36: | \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
|
| 37: | \renewcommand{\sectfont}{\normalfont} % aendert den Font fuer Ueberschriften
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| 38: |
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| 39: | % Seitenlayout
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| 40: | \renewcommand{\headfont}{\sffamily} % sans serif Kopfzeilen
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| 41: | \renewcommand{\pnumfont}{\sffamily} % sans serif Seitenzahlen
|
| 42: | \automark[section]{section} % bestimmt den Inhalt von \headmark
|
| 43: | \deftripstyle{myheadings}{\headmark}{}{\pagemark}% Kopfzeile
|
| 44: | {}{}{}% Fusszeile
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| 45: | \pagestyle{myheadings} % aktiviert den neu definierten Seitenstil
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| 46: |
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| 47: |
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| 48: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 49: | % Titel der Ausarbeitung
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| 50: | \author{Stefan Steinkamp (\textsf{s.steinkamp@uni-muenster.de})}
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| 51: | \date{11.~Oktober 2010}
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| 52: | \title{Lokalkonvexe Räume%
|
| 53: | \blfootnote{Seminar \glqq Funktionalanalysis\grqq,
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| 54: | WS~2010/2011, {\smaller WWU}~Münster}}
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| 55: |
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| 56: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 57: | % Anfang des eigentlichen Dokuments
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| 58: | \begin{document}
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| 59: |
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| 60: | % Titel der Ausarbeitung -- Sie koennen natuerlich auch selbst etwas entwerfen!
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| 61: | \maketitle
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| 62: |
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| 63: | \begin{abstract}
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| 64: | \noindent
|
| 65: | Als einführender Vortrag zu dem Seminar "'Funktionalanalysis"' soll dieser Vortrag vor allen Dingen
|
| 66: | die Grundlagen schaffen, auf denen der Rest des Seminars aufbauen kann.
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| 67: | Beginnen wird der Vortrag mit einer kurzen Wiederholung von Lokalkonvexen Räumen, Fréchet-Räumen und Dualräumen.
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| 68: | Darauf aufbauend wird der Schwerpunkt LF-Räume und die strikte-Limiten-Topologie behandeln, die mit einigen ausgewählten
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| 69: | Beispielen zu dem nächsten Thema "'Testfunktionen und Distributionen"' überleitet.
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| 70: |
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| 71: | \end{abstract}
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| 72: |
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| 73: |
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| 74: | \section{Lokalkonvexe Räume}
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| 75: |
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| 76: | In diesem und den nächsten beiden Kapiteln werde ich Grundlagen aus der Vorlesung "'Funktionalanalysis"', die im
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| 77: | Wintersemester 2010 an der Westfälischen Wilhelms Universität Münster von Prof. Dr. Siegfried Echterhoff gehalten wurde
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| 78: | zusammentragen.
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| 79: | Hierbei werde ich mich manchmal darauf beschränken den Satz ohne einen Beweis anzugeben.
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| 80: | Die Beweise sind dann allesamt im Sktipt zur Vorlesung zu Finden.
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| 81: |
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| 82: |
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| 83: | \begin{definition}
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| 84: | Sei E ein \K-Vektorraum. Eine Abbildung $ p:E\longrightarrow 0,\infty $ heißt Halbnorm auf E, falls für alle x,y \in E und
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| 85: | für alle \lambda \in \K gilt:
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| 86: |
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| 87: | \begin{enumerate}
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| 88: | \item $p(\lambda x)=|\lambda|p(x)$
|
| 89: | \item $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$
|
| 90: | \end{enumerate}
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| 91: | \end{definition}
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| 92: |
|
| 93: | \begin{definition}
|
| 94: | Sei P ein System von Halbnormen auf E. Eine Teilmenge $U \subset E$ heißt offen bezüglich der von dem Halbnormsystem
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| 95: | P erzeugten Topologie \tau_{HNS}, falls für alle x \in E endlich viele Halbnormen $p_1,\ldots,p_n$ und ein
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| 96: | $\epsilon >0$ mit:
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| 97: |
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| 98: | \[U(x,p_1,\ldots,p_n,\epsilon)=\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in E: p_k(x-y)<\epsilon\}
|
| 99: | \]
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| 100: | \section{Fréchet-Räume}
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| 101: |
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| 102: | Da es sich nicht um ein Handout, sondern um eine Ausarbeitung handelt,
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| 103: | steht hier noch ein kleiner Einleitungstext.
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| 104: |
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| 105: | \begin{definition}
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| 106: | Hier könnte ein wichtiger Satz über Nerven stehen \dots
|
| 107: | \end{definition}
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| 108: | \begin{beweis}
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| 109: | \dots und hier eine kleine Beweisskizze.
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| 110: | \end{beweis}
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| 111: |
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| 112: | \section{Beispiele}
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| 113: |
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| 114: | \begin{beispiel}
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| 115: | \hfil
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| 116: | \begin{itemize}
|
| 117: | \item Hier ein Beispiel
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| 118: | \item \dots und noch eins
|
| 119: | \item \dots und noch eins
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| 120: | \item \dots und hier vielleicht noch eines mit mathematischen
|
| 121: | Symbolen, etwa $a$, $b$, $\R$, $\sqrt{2}$, \dots oder einer
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| 122: | Gleichung:
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| 123: | \[ 9 \cdot 6 = 42.
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| 124: | \]
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| 125: | \end{itemize}
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| 126: | \end{beispiel}
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| 127: |
|
| 128: | \begin{aufgabe}
|
| 129: | Vergessen Sie nicht, ein paar Aufgaben einzustreuen, an denen die
|
| 130: | Teilnehmer nochmal ihre Kenntnisse überprüfen können.
|
| 131: | \end{aufgabe}
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| 132: |
|
| 133: | \begin{beispiel}
|
| 134: | \hfil
|
| 135: | \begin{enumerate}
|
| 136: | \item Es gibt auch Beispiele, \dots
|
| 137: | \item \dots die numeriert sind.
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| 138: | \end{enumerate}
|
| 139: | \end{beispiel}
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| 140: |
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| 141: |
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| 142: |
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| 143: | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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| 144: | % Literaturverzeichnis
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| 145: |
|
| 146: |
|
| 147: | \begin{thebibliography}{99}
|
| 148: | \bibitem{edelsbrunnerharer}
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| 149: | H.~Edelsbrunner, J.L.~Harer,
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| 153: | \bibitem{companion}
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| 154: | F.~Mittelbach, M.~Goossens, J.~Braams, D.~Carlisle, C.~Rowley,
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| 167: | \textsf{http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf}
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| 175: | \end{thebibliography}
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| 176: |
|
| 177: |
|
| 178: | \end{document}
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![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge"){kind=small}
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