Laufmeter einer Papierrolle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Fr 18.06.2004 | | Autor: | numbsi |
Hallo Leute,
ich möchte ganz gerne die Laufmeter einer Papierrolle bestimmen, und zwar über den Durchmesser und die Papierdicke einer Rolle. Ich denke, das müsste über ein Integral funktionieren, aber wie?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo numbsi
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Leute,
>
> ich möchte ganz gerne die Laufmeter einer Papierrolle
> bestimmen, und zwar über den Durchmesser und die
> Papierdicke einer Rolle. Ich denke, das müsste über ein
> Integral funktionieren, aber wie?
>
Wenn du von der Seite auf die Papierrolle schaust, dann ergibt sich das Problem, die Länge einer Kurve zu berechnen.
Bekanntlich macht man dies dadurch, dass man die Kurve als Funktion eines Parameters darstellt, sagen wir z.B. $t$ für Zeit. Dann berechnen wir die Geschwindigkeit des Punktes, wie er mit sich ändernder Zeit auf der Kurve bewegt. Die Kurvenlänge ergibt sich dann bekanntlich dadurch, dass man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors über die Zeit integriert.
Für das vorliegende Problem würde ich den Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] wie er üblicherweise in Polarkoordinaten bezeichnet wird, gerade als den Parameter $t$ wählen.
Somit ergibt sich die folgende Darstelleng:
Der Abstand der Kurve vom Zentrum berechnet sich zu
[mm] $r=r_{0}+c*t$, [/mm] wobei [mm] r_{0} [/mm] der Radius der leeren Rolle ist. $c$ ist so zu wählen, dass nach dem Durchlauf um den Winkel [mm] $2\pi$ [/mm] sich der Abstand um die Papierdicke $d$ vergrössert.
Es muss also gelten:
[mm] $c*2\pi=d$, [/mm] also: [mm] $c=\bruch{d}{2\pi}$
[/mm]
Somit erhalten wir: [mm] $r=r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t$
[/mm]
Mit der bekannten Transformation [mm] $x=r*\cos [/mm] t$ und [mm] $y=r*\sin [/mm] t$ erhalten wir:
$x = [mm] (r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\cos [/mm] t$ und
$y = [mm] (r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\sin [/mm] t$
Jetzt können wir den Geschwindigkeitsvektor ganz einfach erhalten, indem wir komponentenweise nach $t$ ableiten:
[mm] $\bruch{dx}{dt}=\bruch{d}{2\pi}*\cos t-(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\sin [/mm] t$
[mm] $\bruch{dy}{dt}=\bruch{d}{2\pi}*\sin t+(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)\cos [/mm] t$
Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit:
[mm] $v=\wurzel{(\bruch{dx}{dt})^{2}+(\bruch{dy}{dt})^{2}}$
[/mm]
Das auszuwertende Integral ist also:
[mm] $\int_{0}^{\varphi}\wurzel{( \bruch{d}{2\pi} )^{2}+(r_{0}+\bruch{d}{2\pi}*t)^{2}}\, [/mm] dt$
Kannst du das selber noch zu Ende führen? Falls nicht, meldest du dich einfach wieder mit weiteren Fragen. 
Hinweis zur Kontrolle: wenn du [mm] $\varphi [/mm] = [mm] 2\pi$ [/mm] und $d=0$ einsetzt, müsstest du die Formel für einen Kreisumfang erhalten.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus, hallo numbsi,
eine Frage: Warum kann man nicht einfach die spiralenförmige Anordnung der Papierrolle vernachlässigen und stattdessen annehmen, sie es wären ineinandersteckende Papierzylinder?
Da wird in beiden Betrachtungsweisen einen Voll-Zylinder erhalten, müßten die Gesamtlängen des Papiers doch übereinstimmen.
Dann könnte man doch einfach rechnen:
Sei r der Radius der Papierrolle und d die Dicke des Papiers.
Dann haben wird [mm] N=\bruch{r}{d} [/mm] solche Papierzylinder.
Der i-te Papierzylinder hat den Radius [mm] $r_i=\bruch{r}{N}*i$, [/mm] sein Umfang beträgt [mm] $U_i=2\pi r_i=2\pi\bruch{r}{N}*i$
[/mm]
Die Gesamtpapierlänge l ist dann:
[mm] $l=\summe_{i=1}^N U_i=\summe_{i=1}^N 2\pi\bruch{r}{N}*i=2\pi*\bruch{r}{N} \summe_{i=1}^N i=2\pi*\bruch{r}{N}*\bruch{N*(N+1)}{2}=\pi*r*(N+1)=\pi*r*\left(\bruch{r}{d}+1\right)$
[/mm]
Das müßte doch wenigstens eine gute Näherung für die tatsächliche Länge sein, oder?
Viele Grüße,
Marc
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