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Forum "Schul-Informatik Algorithmen" - Laufzeit des "kleinen Fermat"
Laufzeit des "kleinen Fermat" < Algorithmen < Schule < Informatik < Vorhilfe
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Laufzeit des "kleinen Fermat": Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Di 07.08.2007
Autor: TheEraser

Hallo Leute,

ich weiss nicht wie ich die Laufzeit einer Kongruenz bestimme bzw. der Potenz in der Kongruenz um die es eigentlich geht.

Es geht wie oben beschrieben um den kleinen Fermat.

[mm]a^{p-1} \equiv 1 \mod p[/mm]

^^das soll eig a^(p-1) heissen. Habs nicht hinbekommen, dass er alles in den Exponenten packt...

Wie soll ich da auf Logarithmisches Wachstum kommen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Laufzeit des "kleinen Fermat": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Di 07.08.2007
Autor: Gilga

Schön, dass in der Schule der kleine Fermat dran kommt.
Leider versteh ich nicht ganz was du meinst. Meinst du die Komplexität der Berechnung von Potenzen in Restklassen?

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Laufzeit des "kleinen Fermat": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Di 07.08.2007
Autor: TheEraser

Genau das meine ich.

Die O-Notation / Laufzeitkomplexität.

Bezug
                        
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Laufzeit des "kleinen Fermat": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 07.08.2007
Autor: Gilga

Macht man sowas im Mathe LK?
Wichtig bei solchen Aufgabe ist die Länge der Eingabe.
In diesem Fall also 2 Zahlen a und p. Die Länge ist immer Logarithmisch.
z.B. zur Basis 2 wenn man sie binär kodiert oder  zur Basis wie in unserem Dezimalsystem log(100000)+1= 6 Stellen.( Man muss auch richtig runden ... ist aber egal wenn man asymptotische komplexität berechnet.

Betrachtet man jetzt allgemein die Multiplikation von 2 Zahlen a und b der Länge log(a)= n und log(b)=m und multipliziert wie in der Schule (eine Ziffer nach der anderen multi. dann alles addieren) kostet die Multiplikation  von einer Ziffer von b mit a      log(a)=n . Das muss man m mal machen. Zusammenadieren muss man dann m Zahlen der maximalen Länge n+m.  Also n*m+(n+m)*m

Bei Restklassen mit p Elementen ist die Länge ja durch log(p) begrenzt.

Dann sollte insgesamt [mm] O(log(a)^2+log(a)*log(p)) [/mm] = [mm] O(log(p)^2) [/mm] rauskommen. Ich denk mal es gilt a<=p.



  

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Laufzeit des "kleinen Fermat": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Di 07.08.2007
Autor: TheEraser

Boah. Ich danke dir. Genau das wollte ich wissen.

Jo das kommt im LK dran. Aber ein Grossteil ist Eigeninteresse ;)

Danke dir!

Bezug
                                        
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Laufzeit des "kleinen Fermat": Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:33 Sa 15.09.2007
Autor: TheEraser

Tut mir leid, dass ich das Ganze hier nocheinmal aufwühle, aber ich steig doch nich so ganz dahinter...

Ich habs mal an dem Beispiel [mm]22^{996} mod [/mm] 997 probiert.

log(2)+1 = 1
log(11)+1 = 2   (stur für mein Beispiel gerundet ;) )

Aber ab hier komm ich da jetzt nicht mehr klar:

>  kostet die Multiplikation  von einer Ziffer von b mit a      log(a)=n

Kann mir da nochmal bitte jmd. auf die Sprünge helfen?


Bezug
                                                
Bezug
Laufzeit des "kleinen Fermat": Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 17.09.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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