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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 18.02.2013 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Berechnen Sie die jenige Laurent-Entwicklung um [mm] z_0 [/mm] = 0 von
[mm] f(z)=\bruch{1}{z(z+i)(z-5)}die [/mm] auf dem Kreis [mm] \partial K_2(0) [/mm] gleichmäßig konvergiert und bestimmen Sie ihren maximalen
Konvergenzbereich |
Hallo,
ich lerne zur Zeit für die Klausur und bräuchte Hilfe für die oben stehende Aufgabe.
Das sind meine Ideen bis jetzt:
[mm] f(z)=\bruch{(z-5)^{-1}}{z(z+i)} [/mm] (man kann es so schreiben, da ja die 5 nicht in der zu betrachteten Kugel liegt)
Da (z-5)^(-1)holomorph auf [mm] \partial K_2(0) [/mm] ist, betrachte ich nun [mm] \bruch{1}{z(z+i)} [/mm]
Die Partialbruchzerlegung liefert mir folgendes:
[mm] \bruch{(-i)}{z}+ \bruch{i}{z+i}
[/mm]
Der Ausdruck [mm] \bruch{(-i)}{z} [/mm] ist ja bereits eine Laurent-Reihe um 0, bleibt also so stehen.
Für den zweiten Summanden brauche ich die Hilfe:
Die Kugel ist ja so definiert [mm] 0\le |z-0|\le [/mm] 2
Woher weiß ich, ob ich nun aus [mm] \bruch{i}{z+i} [/mm] die 1/z oder 1/(-i) hinaus holen muss damit ich auf die Geometrische Reihe hinaus kann?
Danke schon mal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
f hat Pole in 0, in i und in 5.
Du sollst die Laurententw. von f auf dem Kreisring [mm] A:=\{z: 1<|z|<5 \} [/mm] bestimmen.
Diese Entw. konvergiert dann lokal glm. auf A. Damit konv. sie glm. auf $ [mm] \partial K_2(0) [/mm] $
FRED
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Hallo,
danke für die schnelle antwort
jedoch hab ich noch eine kleine Frage:
was wäre, wenn ich nur die kugel gegeben hätte und nicht den maximalen bereich angeben müsste
kann ich dann trotzdem K_(1,5)(0) angeben und damit rechnen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 21.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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