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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Mya |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laurententwicklungen und die Residuen folgender Funktionen.
[mm] (i)e^{\bruch{1}{z}} [/mm] mit den einzigen singulären Punkt z0 = 0.
Hinweis: Verwenden Sie die komplexe Exponentialdarstellung [mm] e^{z}= 1+z+\bruch{z^{2}}{2!}+... [/mm] |
leider kann ich mit den Hinweis nichts weiter anfangen, denn wenn ich doch
[mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] als Reihe darstelle, bedeutete dass
[mm] e^{\bruch{1}{z}}= 1+\bruch{1}{z}+\bruch{1}{2!z^{2}}+.... [/mm] was ja genau die Laurentreihe in Zo=0 ist. Wie oder was berechne ich nun oder konstruiere ich, damit ich mit den Hinweis zu der Laurentreihe komme.
Weiter sei noch aus mein Skript wieder gegeben:
Definition 8.6. Die holomorphe Funktion f heißt in eine Laurentreihe entwickelt, falls [mm] f(z)=\summe_{k=-\infty}^{\infty} ak\*z^{k}
[/mm]
mit den Koeffizienten [mm] ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{ \bruch{f(w)}{w^{k+1}}dw}
[/mm]
Die Integration ist dabei über irgendeinen geschlossenen, stetigen und stückweise stetig differenzierbaren Weg γ innerhalb des offenen Kreisrings zu erstrecken.
Ich habe auf keiner anderen Intenetseite, in kein anderen Forum diese Frage/Aufgabe gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Laurententwicklungen und die Residuen
> folgender Funktionen.
> [mm](i)e^{\bruch{1}{z}}[/mm] mit den einzigen singulären Punkt z0
> = 0.
> Hinweis: Verwenden Sie die komplexe Exponentialdarstellung
> [mm]e^{z}= 1+z+\bruch{z^{2}}{2!}+...[/mm]
> leider kann ich mit den
> Hinweis nichts weiter anfangen, denn wenn ich doch
> [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm] als Reihe darstelle, bedeutete dass
> [mm]e^{\bruch{1}{z}}= 1+\bruch{1}{z}+\bruch{1}{2!z^{2}}+....[/mm]
> was ja genau die Laurentreihe in Zo=0 ist.
Genau. Das ist die gesuchte Laurentreihe.
> Wie oder was
> berechne ich nun oder konstruiere ich, damit ich mit den
> Hinweis zu der Laurentreihe komme.
Oben hast Du doch schon alles getan, was nötig ist ! Ich verstehe Deine Frage nicht.
Allgemein: ist f eine ganze Funktion mit der Potenzreihenentwicklung
[mm] $f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$)
[/mm]
und setzt man $g(z):=f(1/z)$, so hat g in [mm] z_0=0 [/mm] eine isolierte Singularität.
Die Laurententw. von g um [mm] z_0=0 [/mm] ist dann:
[mm] $g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n}$ [/mm] ($z [mm] \in \IC \setminus\{0\}$)
[/mm]
FRED
> Weiter sei noch aus mein Skript wieder gegeben:
> Definition 8.6. Die holomorphe Funktion f heißt in eine
> Laurentreihe entwickelt, falls
> [mm]f(z)=\summe_{k=-\infty}^{\infty} ak\*z^{k}[/mm]
> mit den
> Koeffizienten [mm]ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{ \bruch{f(w)}{w^{k+1}}dw}[/mm]
>
> Die Integration ist dabei über irgendeinen geschlossenen,
> stetigen und stückweise stetig differenzierbaren Weg γ
> innerhalb des offenen Kreisrings zu erstrecken.
>
> Ich habe auf keiner anderen Intenetseite, in kein anderen
> Forum diese Frage/Aufgabe gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Mya |
aber was mache ich denn dann überhaupt? so ist doch die Funktion [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] als Reihe approximiert, und muss ich nicht auch irgendwo was rechnen oder zeigen, so dass es klar ist, dass das die gesuchte Laurentreihe ist... mein Assistent wird mir so keine Punkte geben, wenn ich das einfach nur hin schreibe, aber der allgemeine Fall könnte mir dabei weiter helfen. Und habe noch eine allgemeine Frage für mein Verständnis:
die Koeffizienten sind als [mm] ak=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}} dw} [/mm] definiert, was ist aber mein f(w) oder w??? setze ich nicht mein f(w) genau so, dass [mm] \bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}}=\bruch{1}{w} [/mm]
ist, so dass bei der Integration [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{w}dw} [/mm] berechnet wird, das ergibt dann [mm] 2\pi* [/mm] i und dieser Koeffiezient ist für gegebenes k erhalten. Dann ist für festes k, ak=1 nach der Definition, oder habe ich was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> aber was mache ich denn dann überhaupt? so ist doch die
> Funktion [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm] als Reihe approximiert, und muss
> ich nicht auch irgendwo was rechnen oder zeigen, so dass es
> klar ist, dass das die gesuchte Laurentreihe ist...
Ne, weiter mußt Du in obigem Fall nichts berechnen. Man muß nur wissen, dass die Laurententwicklung eindeutig ist.
> mein Assistent
Hossa, Du hast einen eigenen Assistenten, so ganz für Dich. Tolle Hochschule. Krieg ich da auch einen Job als Assistent ?
> wird mir so keine Punkte geben, wenn ich das
> einfach nur hin schreibe,
Doch das wird er, wenn Du mit der Eindeutigkeit der Laurententw. argumentierst.
> aber der allgemeine Fall könnte
> mir dabei weiter helfen. Und habe noch eine allgemeine
> Frage für mein Verständnis:
> die Koeffizienten sind als [mm]ak=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}} dw}[/mm]
> definiert, was ist aber mein f(w) oder w???
Im obigen Fall ist [mm] $f(w)=e^{1/w}$ [/mm] und w ist die Integrationsvariable.
> setze ich nicht
> mein f(w) genau so, dass
> [mm]\bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}}=\bruch{1}{w}[/mm]
Quatsch ! Was soll das ?
> ist, so dass bei der Integration
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{w}dw}[/mm] berechnet wird, das
> ergibt dann [mm]2\pi*[/mm] i und dieser Koeffiezient ist für
> gegebenes k erhalten. Dann ist für festes k, ak=1 nach
> der Definition, oder habe ich was falsch verstanden?
Ja, ich glaube Du hast noch einiges an Verständnisschwierigkeiten !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Mya |
Ok, ich weiß nür nicht genau, wie man dann vorgeht, also für das [mm] f(z)=e^{\bruch{1}{z}} [/mm] setze ich dann z=w
[mm] \Rightarrow f(w)=e^{\bruch{1}{w}} [/mm]
und was ist genau nun das w, ist das eine beliebige komplexe Zahl über die ich dann einfach integriere?
und nun bei der vorliegenden Aufgabe, müßte ich doch die ak wie folgt bestimmen:
[mm] ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}}dw} [/mm] mit
[mm] f(w)=e^{\bruch{1}{w}} [/mm] und z0=0
[mm] \Rightarrow ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{e^{\bruch{1}{w}}}{w^{k+1}}dw}
[/mm]
Nun, nach mein Verständnis, kann die Integration nur dann erfolgen, wenn im Nenner die innere Ableitung stehen würde... das ist im Reellen der Fall, aber im Komplexen, weiß ich nicht so recht.
Muss ich an dieser Stelle die Funktion [mm] e^{\bruch{1}{w}}=1+ \bruch{1}{w}+\bruch{1}{2!\*w^{2}}+... [/mm] im Zähler ersetzen, aber das will ich doch gerade raus bekommen...
Also
[mm] ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1+ \bruch{1}{w}+\bruch{1}{2!\*w^{2}}+...}{w^{k+1}}dw}
[/mm]
[mm] \gdw ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{(\bruch{1}{w^{k+1}}+\bruch{1}{w^{k+2}}+\bruch{1}{2!w^{k+3}}+...)dw}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für k=0, ergibt nur der erste Term ein Betrag von [mm] 2\pi*i, [/mm] alle anderen sind 0 [mm] \Rightarrow a_{0}=1
[/mm]
für k=-1 ist der zweite gleich [mm] 2\pi*i, [/mm] alle anderen Integrale sind wieder null
[mm] \Rightarrow a_{-1}=1 [/mm] und beim dritten Term wird er nur einen Beitrag liefern, wenn k=-2, dann ist [mm] a_{-2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
dies kann bis [mm] k\to -\infty [/mm] weitergeführt werden. Stimmt das alles soweit? Was soll ich machen, um das Thema besser zu verstehen zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich weiß nür nicht genau, wie man dann vorgeht, also
> für das [mm]f(z)=e^{\bruch{1}{z}}[/mm] setze ich dann z=w
> [mm]\Rightarrow f(w)=e^{\bruch{1}{w}}[/mm]
> und was ist genau nun das w, ist das eine beliebige
> komplexe Zahl über die ich dann einfach integriere?
Das ist nur eine weitere Bezeichnung für die Variable von der f abhängt.
> und nun bei der vorliegenden Aufgabe, müßte ich doch die
> ak wie folgt bestimmen:
> [mm]ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{f(w)}{(w-z0)^{k+1}}dw}[/mm]
> mit
> [mm]f(w)=e^{\bruch{1}{w}}[/mm] und z0=0
> [mm]\Rightarrow ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{e^{\bruch{1}{w}}}{w^{k+1}}dw}[/mm]
Wozu ????? Wie oft denn noch ?: die Laurententwicklung hast Du doch längst in der Tasche. Das sage ich Dir jetzt zum 3. mal !!
>
> Nun, nach mein Verständnis, kann die Integration nur dann
> erfolgen, wenn im Nenner die innere Ableitung stehen
> würde...
Was ist los ???
> das ist im Reellen der Fall,
Blödsinn.
> aber im Komplexen,
> weiß ich nicht so recht.
> Muss ich an dieser Stelle die Funktion [mm]e^{\bruch{1}{w}}=1+ \bruch{1}{w}+\bruch{1}{2!\*w^{2}}+...[/mm]
> im Zähler ersetzen, aber das will ich doch gerade raus
> bekommen...
Wie oft noch ????
> Also
> [mm]ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1+ \bruch{1}{w}+\bruch{1}{2!\*w^{2}}+...}{w^{k+1}}dw}[/mm]
>
> [mm]\gdw ak=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}^{}{(\bruch{1}{w^{k+1}}+\bruch{1}{w^{k+2}}+\bruch{1}{2!w^{k+3}}+...)dw}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für k=0, ergibt nur der erste Term ein Betrag
> von [mm]2\pi*i,[/mm] alle anderen sind 0 [mm]\Rightarrow a_{0}=1[/mm]
> für
> k=-1 ist der zweite gleich [mm]2\pi*i,[/mm] alle anderen Integrale
> sind wieder null
> [mm]\Rightarrow a_{-1}=1[/mm] und beim dritten Term wird er nur
> einen Beitrag liefern, wenn k=-2, dann ist
> [mm]a_{-2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> dies kann bis [mm]k\to -\infty[/mm] weitergeführt werden. Stimmt
> das alles soweit?
Falsch ist das nicht, aber völlig überflüssig ! Zum 4. Mal: die Laurententwicklung hast Du. Schau sie Dir genau an, dann siehst Du:
[mm] a_k=0 [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1, [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_{-k}= \bruch{1}{k!} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1
FRED
> Was soll ich machen, um das Thema besser
> zu verstehen zu können?
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