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| Aufgabe | | [mm] f(z)=\bruch{1}{z(z-3)^2} [/mm] ist im Kreisring 1<|z-1|<2 in eine Laurentreihe zu entwickeln. |
Hi,
mit der Partialbruchzerlegung habe ich die Funktion folgendermaßen zerlegen können:
[mm] f(z)=\bruch{\bruch{1}{9}}{z}+\bruch{-\bruch{1}{9}z+\bruch{2}{3}}{(z-3)^2}
[/mm]
Aufgrund des Kreisrinngs, muss ich nun am ersten Summanden eine äußere Entwicklung und am zweiten eine innere durchführen.
(i) [mm] \bruch{\bruch{1}{9}}{z}=\summe_{n=-\infty}^{-1}\bruch{(z-1)^n}{(-1)^{n+1}}=-\summe_{n=-\infty}^{-1}(1-z)^n :=S_1
[/mm]
(ii) [mm] \bruch{1}{z-3}=-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(z-1)^n}{2^{n+1}}
[/mm]
Durch Ableiten erhalte ich dann:
[mm] \bruch{1}{(z-3)^2}=\summe_{n=0}^{\infty}n*\bruch{(z-1)^{n-1}}{2^{n+1}}=\summe_{n=1}^{\infty}n*\bruch{(z-1)^{n-1}}{2^{n+1}} :=S_3
[/mm]
Multipliziere ich beide Seiten mit (z-1), erhalte ich
[mm] \bruch{z-1}{(z-3)^2}=\summe_{n=1}^{\infty}n*\bruch{(z-1)^n}{2^{n+1}} :=S_2
[/mm]
Nun habe ich mir gedacht, durch Kombination von [mm] S_2 [/mm] und [mm] S_3 [/mm] die Reihe zu erhalten, und komme dabei auf...
[mm] \bruch{-\bruch{1}{9}z+\bruch{2}{3}}{(z-3)^2}=-\bruch{1}{9}*S_2+\bruch{5}{9}*S_3
[/mm]
Dann hinkt's aber. Ist das die Methode, oder geht das alles nicht einfacher? Als nächstes hätte ich versucht aus der letzten Gleichung eine geschlossene Summenformel zu erhalten, doch das gelingt mir nicht.
Danke schonmal,
BertanARG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Di 03.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z(z-3)^2}[/mm] ist im Kreisring 1<|z-1|<2 in eine
> Laurentreihe zu entwickeln.
> Hi,
>
> mit der Partialbruchzerlegung habe ich die Funktion
> folgendermaßen zerlegen können:
>
> [mm]f(z)=\bruch{\bruch{1}{9}}{z}+\bruch{-\bruch{1}{9}z+\bruch{2}{3}}{(z-3)^2}[/mm]
Ist diese Form wirklich so viel besser als [mm]f(z)=\frac{1}{z}\cdot\bruch{1}{(z-3)^2}[/mm]?
Wäre es nicht von Vorteil, relativ schnell [mm]z[/mm] durch [mm]z-1[/mm] zu ersetzen? Etwa so:
[mm]\frac{1}{z(z-3)^2} = \frac{1}{((z-1)+1)\cdot ((z-1)-2)^2} = \frac{1}{4 (1+(z-1))\cdot \big(1-\frac{z-1}{2}\big)^2}[/mm]
Dieser Bruch lässt sich doch vermutlich mittels Partialburchzerlegung in eine Linearkombination geometrischer Reihen mit [mm](-1)^n\cdot (z-1)^n[/mm] bzw. [mm]\big(\frac{z-1}{2}\big)^n[/mm] Gliedern umformen.
Oops, nachträglich merke ich erst, dass Du ja nicht einfach Entwicklung um [mm]z=1[/mm] brauchst. Da ich vorerst keine Zeit mehr für dieses Problem habe, wandle ich meine voreilige Antwort in eine blosse Mitteilung um (einfach löschen geht scheinbar nicht).
Auf den ersten Blick erscheint mir aber z.B. folgende erste Umformung vor einer Partialbruchzerlegung nicht ganz unsinnig:
[mm]\frac{1}{z(z-3)^2} = \frac{1}{((z-1)+1)\cdot ((z-1)-2)^2} = \frac{1}{z-1}\cdot \frac{1}{4 (1+\frac{1}{z-1})\cdot \big(1-\frac{z-1}{2}\big)^2}[/mm]
Die Reihen zu [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}[/mm] bzw. [mm]\frac{1}{(1-\frac{z-1}{2})^2}[/mm] konvergieren jedenfalls im gewünschten Bereich [mm]1 < |z-1| < 2[/mm]
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Hi,
das Problem ist bei mir der Pol zweiter Ordnung. da durch Partialbruchzerlegung im Zähler ein z übrig bleibt bin ich nicht sicher, wie ich das handhaben soll.
Deswegen wüsste ich jetzt auch nicht, wie ich in deinem Ansatz den Pol zweiter Ordnung behandeln könnte. Gut, die Partialbruchzerlegung wäre machbar (aber verdammt aufwendig), dann beleibt aufgrund des letzten quadratischen Ausdrucks im Nenner aber erneut ein solcher Partialteil übrig.
Und kann ich eine Laurentreihe auch als Linearkombination verschiedener Reihen angeben? Dann wäre ich doch eigentlich bereits fertig, oder nicht?
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> Hi,
>
> das Problem ist bei mir der Pol zweiter Ordnung. da durch
> Partialbruchzerlegung im Zähler ein z übrig bleibt bin ich
> nicht sicher, wie ich das handhaben soll.
Hier nochmals genauer, was ich hätte vorschlagen wollen (aber nicht im Detail ausgeführt hatte, mit dem kleinen Unterschied, dass ich die Partialbruchzerlegung, die Du ja auch schon gemacht hast, gleich am Anfang ins Spiel bringe: dies macht die Umformung sicher übersichtlicher):
[mm]\begin{array}{rcl}
\frac{1}{z(z-3)^2} &=& \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{z-3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(z-3)^2}\\
&=& \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{z-1}\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}
+\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z-1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\big(1-\frac{z-1}{2}\big)^2}\\
&=& \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{z-1}\cdot \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (z-1)^{-n}+\frac{1}{18}\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}(z-1)^n+\frac{1}{12}\cdot \sum_{n=1}^\infty n2^{-(n-1)}(z-1)^{n-1}\\
&=& \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-1)^n
\end{array}[/mm]
Die [mm]a_n[/mm] musst Du durch Einsammeln der Koeffizienten der betreffenden Potenz [mm](z-1)^n[/mm] in den drei Reihen bestimmen. Bitte behafte mich nicht bei irgend einem kleinen Detail der Kalkulation: ich glaube einfach, dass die Grundidee richtig und auch nicht übermässig exotisch ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Mi 04.07.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ok, danke für deine Hilfe. Jetzt hab ich auch den Fehler entdeckt. Den habe ich in der Partialbruchzerlegung. Dort habe ich des [mm] (z-3)^2 [/mm] nicht in die Fälle (z-3) und [mm] (z-3)^2 [/mm] aufgeteilt.
So bleiben dann keine z's im Zähler übrig.
Dank dir auch für die Herleitung mittels der Geometrischen Reihe. Ich habe direkt die Formeln für die äußere und innere Entwicklung verwendet. Jetzt kann ich die Ergebnisse vergleichen und weiß über einen alternativen Weg Bescheid.
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> Deswegen wüsste ich jetzt auch nicht, wie ich in deinem
> Ansatz den Pol zweiter Ordnung behandeln könnte.
Also Du siehst nicht, wie z.B. die Potenzreihe von [mm]\frac{1}{(1-z)^2}[/mm] aussieht? - Das geht doch über den bekannten Ableitungstrick:
[mm]\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}\frac{d}{dz}z^n = \sum_{n=1}nz^{n-1}[/mm]
entsprechend bei Polen höherer Ordnung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mi 04.07.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi nochmal,
habe beide Ergebnisse verglichen. Es kommt dasselbe raus.
Danke nochmal
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Hi,
mit der Umformung kann ich jetzt leider nicht besonders viel anfangen. Auch da erscheint es mir schwierig die gewünschte Summenform
[mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n [/mm] zu erhalten.
Da scheine ich mit meinem Ansatz noch näher dran zu sein, als mit den Umformungen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Di 03.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hi,
>
> mit der Umformung kann ich jetzt leider nicht besonders
> viel anfangen. Auch da erscheint es mir schwierig die
> gewünschte Summenform
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n[/mm] zu erhalten.
>
> Da scheine ich mit meinem Ansatz noch näher dran zu sein,
> als mit den Umformungen.
Kaum: bei dem Ansatz, den ich vorgeschlagen hatte, sind, nach Partialbruchzerlegung und Umsetzen in geometrische Reihen, nur noch ganzzahlige Potenzen von [mm]z-1[/mm] vorhanden. Der Konvergenzradius ist dabei auch klar der richtige.
In Deinem Ansatz, andererseits, ist noch immer [mm]\frac{1}{(z-3)^2}[/mm] drin. Und das war doch auch die Stelle, an der Du das Handtuch geworfen hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 04.07.2007 | | Autor: | BertanARG |
hat sich erledigt, kann den Status aber nicht mehr ändern
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> Hi,
>
> mit der Umformung kann ich jetzt leider nicht besonders
> viel anfangen. Auch da erscheint es mir schwierig die
> gewünschte Summenform
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n[/mm] zu erhalten.
>
> Da scheine ich mit meinem Ansatz noch näher dran zu sein,
> als mit den Umformungen.
Hat sich, gemäss Mitteilung des Autors, erledigt.
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