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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 14.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | entwickeln sie [mm] f(z)=\bruch{z}{z^2+1} [/mm] in eine LR |
habe also PBZ gemacht und habe nun
f(z)= [mm] \bruch{1}{2(z+i)}+\bruch{1}{2(z-i)}
[/mm]
leider kapiere ich nicht so recht wie es weiter geht!
wie krieg ich das in ne reihe?
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Hallo!
> entwickeln sie [mm]f(z)=\bruch{z}{z^2+1}[/mm] in eine LR
> habe also PBZ gemacht und habe nun
>
> f(z)= [mm]\bruch{1}{2(z+i)}+\bruch{1}{2(z-i)}[/mm]
>
> leider kapiere ich nicht so recht wie es weiter geht!
> wie krieg ich das in ne reihe?
Du kannst Folgendes benutzen, um eine Laurent-Reihe um den Punkt 0 zu erhalten:
[mm] $\frac{1}{1-y} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}y^{k}$,
[/mm]
falls $|y| < 1$.
Zum Beispiel:
[mm] $\bruch{1}{2*(z+i)} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}*i*\frac{1}{1-i*z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}*i*\sum_{k=0}^{\infty}(i*z)^{k} [/mm] = ...$
Ähnlich kannst du Laurentreihen um jeden beliebigen anderen Entwicklungspunkt erhalten.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 14.03.2010 | | Autor: | domerich |
ok also einfach geometrische reihe und wegen dem i komplex erweitern.
für das 2. ding hab ich dann:
[mm] \bruch{1}{2}\pi \sum (-iz)^n [/mm] ?
was heißt denn das wenn [mm] R_{0,1}(0) [/mm] steht also klar kreis um null radius 1.
ich sehe welche polstellen in diesem kreis sind.
was muss ich machen wenn eine oder mehrere polstellen drin sind?
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Hallo domerich,
> ok also einfach geometrische reihe und wegen dem i komplex
> erweitern.
>
> für das 2. ding hab ich dann:
Also für [mm] $\frac{1}{2(z-i)}$ [/mm] ?
>
> [mm]\bruch{1}{2}\pi \sum (-iz)^n[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das [mm] $\pi$ [/mm] ist ja falsch, du meinst wohl eher i, also [mm] $\frac{\red{i}}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-iz)^n$
[/mm]
>
> was heißt denn das wenn [mm]R_{0,1}(0)[/mm]
Das ist ne komische Notation ...
> steht also klar kreis
> um null radius 1.
> ich sehe welche polstellen in diesem kreis sind.
Nun, die Polstellen von [mm] $\frac{z}{z^2+1}$ [/mm] sind offensichtlich die Nullstellen des Nenners, also die von [mm] $z^2+1$
[/mm]
Das sind [mm] $\pm [/mm] i$ und die liegen nicht in der (offenen) Kreisscheibe um 0 mit Radius 1, sondern auf dem Rand ...
> was muss ich machen wenn eine oder mehrere polstellen drin
> sind?
Da kommt die "Windungszahl" ins Spiel bzw. eleganter und verallgemeinernder der "Residuensatz"
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
f hat Singularitäten in [mm] \pm [/mm] i, ich denke also, dass die Laurententwicklung um i bzw. -i verlangt ist. Natürlich kann man auch um 0 entwickeln. Dann erhält man eine Potenzreihe:
$f(z) = [mm] \bruch{z}{1-(-z^2)}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n+1}$ [/mm] für |z|<1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 15.03.2010 | | Autor: | domerich |
@fred
also ich entwickle im regelfall einfach immer um die Polstellen (nennernullStellen)
und bastele daraus eine geometrische reihe mit partialbruchzerlegung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Di 16.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir fabrizieren mal die Laurententwicklung von
[mm] $f(z)=\bruch{1}{2(z+i)}+\bruch{1}{2(z-i)} [/mm] $ um den Punkt [mm] z_0=i
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2(z-i)} [/mm] ist der Haupteil der Entwicklung und [mm] \bruch{1}{2(z+i)} [/mm] ist in einer Umgebung von [mm] z_0 [/mm] holomorph, also können wir [mm] \bruch{1}{2(z+i)} [/mm] in eine Potenzreihe um [mm] z_0 [/mm] entwickeln:
[mm] $\bruch{1}{2(z+i)}= \bruch{1}{2(z-i+2i)}= \bruch{1}{4i}*\bruch{1}{\bruch{z-i}{2i}+1}= \bruch{1}{4i}*\bruch{1}{1-(-\bruch{z-i}{2i})}= \bruch{1}{4i}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(z-i)^n}{(2i)^n}$ [/mm] für $|z-i|<2$
Damit ist
$ [mm] \bruch{1}{2(z-i)} +\bruch{1}{4i}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(z-i)^n}{(2i)^n}$ [/mm]
die Laurententwicklung von f für $0<|z-i|<2$
FRED
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