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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 30.01.2005 | | Autor: | mtuente |
Hallo!
Ich studiere Mathe auf Gymnasiallehramt und wir haben jetzt in Analysis II mit dem Lebesgue-Integral angefangen. Mein Problem ist, dass ich mir das alles nicht so gut vorstellen kann. Kann man das Lebesgue-Integral auch veranschaulichen (wie beim Riemannschen Integral) und wenn wie?
Vielleicht kann mir ja auf meine Frage irgendeiner eine Antwort geben. Ich würde mich freuen,
viele Grüße, Michaela
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 30.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Michaela!
Also wenn ich mal frei aus dem Analysis-Script meines Professors aus der Einleitung zitieren darf:
"Es gibt verschiedene Integralbegriffe, zum Beispiel
das Regelintegral
das Riemannsche Integral, das lange Zeit in den Lehrbüchern der Analysis Standard
war, und
das Lebesguesche Integral, das wir in diesem Semester betrachten wollen.
Für Treppenfunktionen, ja für alle anständigen Funktionen, liefern diese Integrale denselben
Wert. Sie unterscheiden sich aber hinsichtlich der jeweiligen Menge der integrierbaren
Funktionen; diese Menge vergrößert sich bei den obigen drei Integralbegriffen in der angegebenen
Reihenfolge.
Aber es ist nicht das Ziel, möglichst exotische Funktionen auch noch integrieren zu können,
es geht um andere Vorteile: In vielen Anwendungen der Analysis möchte man Grenzwertprozesse
in Funktionenräumen, zum Beispiel im Raum der integrierbaren Funktionen, durchführen.
Ein Beispiel aus der Theorie der Differentialgleichungen haben Sie im letzten Semester beim
Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf gesehen. Oder man möchte, dass unter möglichst
allgemeinen Voraussetzungen
[mm]\lim_{n \to \infty} \integral{f_n} = \integral {\lim_{n \to \infty} f_n} [/mm]
gilt. Auf diesem Feld gewinnt das Lebesgueintegral um Längen!
Der wesentliche Unterschied in den Definitionen kommt (jedenfalls bei unserem Zugang)
folgendermaßen zustande:
Zunächst definiert man das Integral für Treppenfunktionen auf die offensichtliche Weise.
Dann erweitert man es auf Funktionen, die sich gut durch Treppenfunktionen approximieren
lassen. Der Unterschied liegt in der Definition von gut.
Bei den Regelfunktionen betrachtet man Grenzwerte von Folgen von Treppenfunktionen
im Sinne gleichmäßiger Konvergenz.
In der Riemannschen Theorie betrachtet man Funktionen, die sich zwischen zwei
Treppenfunktionen mit beliebig klein vorgegebener Integraldifferenz einsperren lassen
(Sandwiching).
In der Lebesgueschen Theorie schließlich betrachtet man Grenzwerte von monotonen
Folgen von Treppenfunktionen. "
Um es nochmal kurz zusammenzufassen: Der Wesentlich Unterschied ist genau der letzte Punkt. Das Lebesgue-Integral benötigt eine Folge von Treppenfunktionen, die monoton ist, die konvergieren müssen und deren Integrale dazu sich "vernünftig" verhalten. Dann weißt man der Grenzfolge der Treppenfunktionen den Wert des Integrales zu. Im Unterschied zum Regelintegral muss die Treppenfunktionsfolge aber nicht gleichmäßig konvergieren.
Gruß Micha 
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