Lebesgue-Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll das folgende Lebesgue-Integral berechnen:
[mm] \integral_{M}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}} d\lambda}
[/mm]
mit [mm] M=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2; 0 < x^2+y^2 \le 1\}
[/mm]
Ich darf dazu jedoch nur folgende Definitionen benutzen:
1.) Sei f [mm] \in \overline{M_{+}} [/mm] und ( [mm] \phi_k)_{k \ge 1} [/mm] eine mon. wachsende Folge von Funktionen aus [mm] T_{+} [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\phi_k [/mm] = f. Dann heißt [mm] \integral{ f d\lambda} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral{\phi_k d\lambda} \in \overline{R_{+}}.
[/mm]
2.) Ist f: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] eine integrierbare numerische Fkt., so gilt [mm] |\integral{f d\lambda} \le \integral{|f| d\lambda}.
[/mm]
Leider habe ich keine Ahnung, wie man vorgeht, wenn man ein Lebesgue-Integral berechnet und habe auch kein passendes Beispiel gefunden.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte und mir erklären könnte, wie das funktioniert (gerne auch anhand eines Beispiels), da ich denke, dass es auch für kommende Aufgaben wichtig sein wird, dass ich diese Aufgabe hier verstanden habe!
Danke!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:56 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hey!
Da du bisher noch keine Antwort bekommen hast, versuch ich es mal...
Ich weiß nicht, ob das richtig ist, aber ich hätte zunächst einmal das Integral "umgeschrieben".
Also f:M [mm] \to \overline{\IR}, \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{1}{\wurzel{x^2 + y^2}}. [/mm] Dann gilt ja [mm] \integral_{M}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2 + y^2}} d\lambda} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{overline{f}(x) d\lambda} [/mm] mit [mm] \overline{f}:\IR^n \to \overline{\IR}, \vektor{x \\ y} \mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{falls } \vektor{x \\ y} \in M \\ 0, & sonst \end{cases}
[/mm]
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> Hey!
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> Da du bisher noch keine Antwort bekommen hast, versuch ich
> es mal...
> Ich weiß nicht, ob das richtig ist, aber ich hätte
> zunächst einmal das Integral "umgeschrieben".
>
> Also f:M [mm]\to \overline{\IR}, \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{1}{\wurzel{x^2 + y^2}}.[/mm]
> Dann gilt ja [mm]\integral_{M}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^2 + y^2}} d\lambda}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{overline{f}(x) d\lambda}[/mm] mit
> [mm]\overline{f}:\IR^n \to \overline{\IR}, \vektor{x \\ y} \mapsto \begin{cases} f(x), & \mbox{falls } \vektor{x \\ y} \in M \\ 0, & sonst \end{cases}[/mm]
>
Angenommen, deine Idee ist richtig, was bringt mir das dann?
Da das Integral im Fall für [mm] \vektor{x \\ y} \not\in [/mm] M gleich 0 ist, brauche ich ja eigentlich nur den anderen Fall zu betrachten.
Dann kann ich meine Bedingung die in der Menge steht für die Integrationsgrenzen nutzen, oder? Aber wie genau mache ich das?
Mich stören da irgendwie die Quadrate...
Was ich gerade noch gesehen habe ist, dass wir zuletzt irgendwann mal aufgeschrieben haben, dass
[mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < [mm] \summe_{j=k}^{\infty} \bruch{1}{j+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
Kann ich das irgendwie gebrauchen? Lässt sich damit vielleicht irgendwie meine Funktion schöner schreiben?
Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe!
Viele Grüße!
Isabelle
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Hiho,
du sollst die Aufgabe genau so lösen, wie es im "Standardprozedere" der Maßtheorie immer gemacht wird. Heißt:
Finde einfache Funktionen [mm] $\varphi_n$ [/mm] mit [mm] $\varphi_n \to [/mm] f$ monoton und dann gilt ja:
[mm] $\integral_X\,f\,d\lambda [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \integral_X\, \varphi_n\,d\lambda$
[/mm]
Vorweg: Mach dir mal klar, dass du dein Integral erstmal ganz trivial umschreiben kannst zu:
[mm] $\integral_{|x| \le 1}\, \bruch{1}{|x|}\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_{\IR^2}\, \bruch{1}{|x|}*1_{\left\{|x| \le 1\right\}}\,d\lambda$
[/mm]
So: Und nun definiere dir mal einfache Funktionen [mm] \varphi_n [/mm] über die Mengen [mm] $A_i^n [/mm] = [mm] \left\{\bruch{i}{n} \le |x| < \bruch{i+1}{n}\right\}, i\in\{0,\ldots,n-1\}$, [/mm] die gegen f konvergieren.
MFG,
Gono.
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