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Hi.
Zwar verstehe ich die Zeichen, die du da verwendest, nicht wirklich, aber ich denke, dein Denkfehler ist, dass du davon ausgehst, die irrationalen Zahlen seien eine Nullmenge, was aber sicher nicht der Fall ist. Vielmehr gibt es in einem Intervall genauso viele irrationale Zahlen wie reelle Zahlen, das Maß der irrationalen Zahlen in [0,1] ist also zum Beispiel 1.
Wären die irrationalen Zahlen eine Nullmenge, so müssten auch die reellen Zahlen eine Nullmenge sein, da ja [mm] $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q})$ [/mm] gilt und, wie du vielleicht weißt, ist das Lebesguemaß additiv bezüglich der Vereinigung disjunkter Mengen, man bekäme für das Maß der reellen Zahlen also 0+0=0, ein offensichtlich falsches Ergebnis.
Das mit den einzelnen Punkten ist keine gute Vorstellung; dass die rationalen Zahlen eine Nullmenge sind, liegt vielmehr daran, dass es nur sehr wenige rationale Zahlen gibt, nämlich genauso viele wie natürliche Zahlen (und jede Menge, die nur so viele Elemente enthält wie die natürlichen Zahlen, also abzählbar ist, ist eine Nullmenge (die Umkehrung gilt jedoch nicht, es gibt also auch Mengen mit mehr Elementen, die noch Nullmengen sind)). Auch die irrationalen Zahlen sind nur Punkte, wenn es so willst, aber es sind halt richtig viele, so dass ihnen trotzdem ein positives Lebesgue-Maß zukommt.
Vielleicht hilft dir das ein bisschen weiter.
Gruß
Philipp
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 07.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Philipp!
Danke erstmal für deine Antwort. Aber ist die Menge der irrationalen Zahlen nicht auch dicht in den reelen Zahlen?
Ich finde doch zu jeder irrationalen Zahl rechts und links von ihr rationale Zahlen. Und umgekehrt zu jeder rationalen Zahl rechts und links eine irrationale. Impliziert das nicht die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen?
Wenn nein, dann ist mein mathematisches Weltbild grad ein wenig erschüttert worden.
Gruß Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 So 07.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Micha!
> Danke erstmal für deine Antwort. Aber ist die Menge der
> irrationalen Zahlen nicht auch dicht in den reelen
> Zahlen?
> Ich finde doch zu jeder irrationalen Zahl rechts und links
> von ihr rationale Zahlen. Und umgekehrt zu jeder rationalen
> Zahl rechts und links eine irrationale.
Das ist richtig, sowohl [mm] $\IQ$ [/mm] als auch [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] liegen dicht in [mm] $\IR$.
[/mm]
> Impliziert das
> nicht die Gleichmächtigkeit der beiden Mengen?
Nein, das kann doch nicht sein.
[mm] $\IQ$ [/mm] ist abzählbar, und wenn [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] auch abzählbar (also gleichmächtig zu [mm] $\IQ$) [/mm] wäre, dann wäre auch [mm] $\IR=\IQ\cup(\IR\setminus\IQ)$ [/mm] abzählbar.
Vielleicht kann man es sich so vorstellen: Während in jeder Umgebung einer reellen Zahl nur abzählbar viele rationale Zahlen liegen, liegen dort aber überzählbar viele irrationale Zahlen.
Die Dichtheit dagegen fordert nur, dass mindestens eine Zahl der dichten Menge in der Umgebung liegt -- was natürlich erfüllt ist, wenn dort sogar abzählbar viele bzw. überzählbar viele Elemente liegen.
> Wenn nein, dann ist mein mathematisches Weltbild grad ein
> wenig erschüttert worden.
Hehe, stimmt es wieder?
Viele Grüße,
Marc
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