Lebesgue-Maß berechnen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Di 09.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Die Menge A [mm] \subset \IR^{2} [/mm] sei definiert durch
A = [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}A_{n}
[/mm]
wobei die [mm] A_{n} [/mm] folgendermaßen kosntruiert werden:
- wir setzen [mm] $A_{0} [/mm] = [0,1] x [0,1]$.
- Wir teilen das QUadrat [mm] A_{0} [/mm] in 16 Teilquadrate, indem jede Seitenlänge in voer gleich große Teile zerlegt wird. Das zweite (offene) Quadrat in der zweiten Spalte nehmen wir heraus, den verbliebenen Rest nennen wir [mm] A_{1}.
[/mm]
- Die 15 Quadrate aus denen [mm] A_{1} [/mm] zusammengesetzt ist, zerlegen wir in jeweils$5*5=25$Teilquadrate. In jedem dieser Teilquadrate nehmen wir das zweite (offene) Quadrat in der zweiten zeile heraus, den insgesamt verbliebenen Rest nennen wir [mm] A_{2}.
[/mm]
- DIe 360 Quadrate, aus denen [mm] A_{2} [/mm] zusammengesetzt ist, zerlegen wir in jeweils 36 Teilquadrate...
1. Ist A Lebesgue-messbar?
2. Berechnen sie [mm] \lambda [/mm] (A). |
Hallo =)
Also ich habe mir bisher folgendes überlegt:
Zu 1. Ich soll zeigen/sagen/begründen, ob A Lebesgue-messbar ist.
Ich gehe mal davon aus, dass das der Fall ist, sonst würde 2. ja keinen Sinn mehr machen...
Wenn also 1. L-m sein soll, muss doch gelten, wenn ich das richtig verstanden habe:
[mm] \lambda (A_{m}) [/mm] = [mm] \lambda (A_{m} \cap A_{n}) [/mm] + [mm] \lambda (A_{n}\backslash A_{m}) [/mm] mit [mm] A_{m},A_{n} \in [/mm] A beliebig und $m < n$
ist das soweit korrekt?
Nach diesen ganzen Vorausetzungen aus der Aufgabe, dachte ich mir, es ist sinnvoll eine allgemeine/abstrake Schreibweise für die [mm] A_{n} [/mm] aufzuschreiben. Bislang haben wir ja nur konkret [mm] A_{0} [/mm] gegeben.
Ich dachte mir bezugnehmend auf
[mm] A_{0} [/mm] = [0,1] x [0,1]. muss
[mm] A_{1} [/mm] = [0,1] x [0,1] [mm] \backslash [\bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}] [/mm] x [mm] [\bruch{1}{2},\bruch{3}{4}] [/mm] sein.
...aber das ist so umständlich, dass es für höhere [mm] A_{n} [/mm] ja unglaublich lang wird und ich auch keine allgemeine Darstellung finde...zumals ja ab [mm] A_{2} [/mm] mehr als 1 Quadrat entnommen wird.
Ich habe mit noch überlegt, bzw. aufgeschrieben dass ich
Bei [mm] A_{0} [/mm] 1 Quadrat habe
bei [mm] A_{1} [/mm] 15 Quadrate
bei [mm] A_{2} [/mm] $360 = 15*25-15$ Quadrate und
bei [mm] A_{3} [/mm] $360*36-360 = 12.600$ Quadrate habe
aber das bringt mich auch nicht spontan weiter...
es wäre super wenn mir jemand erklären kann, wie cih an die Aufgabe rangehen soll.
Habe versucht es parallel zu der Cantor-Menge zu machen, hat mir aber bislang nicht entscheidend weitergeholfen....
Vielen lieben Dank im Voraus.
cmueller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Um zu zeigen, dass die Menge messbar ist, würde ich den Satz über die monotone Konvergenz (Beppo Levi) benutzen.
Sei [mm] A_n:=\bigcap_{i=1}^{n}A_i. [/mm] Dann ist jedes [mm] A_n [/mm] messbar, wobei das Maß jeweils einfach nur der Flächeninhalt ist, also [mm] \mu(A_n)=\integral_{\IR^2}^{}{\chi_{A_n} dx}. [/mm] Nun konvergiert ja [mm] \chi_{A_n} [/mm] monoton von oben gegen [mm] \chi_A. [/mm] Dann kannst du den Satz über die monotone Konvergenz anwenden.
Willst du nun [mm] \mu(A) [/mm] berechnen, so berechne den Flächeninhalt für ein [mm] A_n [/mm] und ist [mm] \mu(A) [/mm] einfach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n).
[/mm]
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Hallo, schonmal vielen Dank.
Den Satz über monotone Kovergenz von Levi hatten wir leider noch nicht :/
gibt es eine andere Möglichkeit, die Lebesgue-messbarkeit zu zeigen?
sonst müsste ich den Konvergenzsatz beweisen und das scheint mir zumindest für die rückrichtung recht aufwendig zu sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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