Lebesgue-Maß von Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 12.10.2023 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das zweidimensionale Lebesgue-Maß der folgenden Mengen und Begründen Sie jeden Rechenschritt genau:
a) [mm] M_{1}=([0,1] \times[0,2]) \cup([1,3] \times[1,4]) [/mm]
b) [mm] M_{2}=([2,7] \times[1,6]) \backslash([3,6] \times[3,4]) [/mm] |
Zum Lebesgue-Maß habe ich folgende Definition gegeben:
Das wichtigste Maß auf [mm] \mathbb{R} [/mm] ist das eindimensionale Lebesgue-Maß:
[mm] \mathcal{L}^{1}(A):=\inf \left\{\sum \limits_{i=1}^{\infty}\left|I_{i}\right|: \quad A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_{i}, \quad I_{i}\right. [/mm] kompaktes, nichtleeres Intervall für [mm] \left.i \in \mathbb{N}\right\} [/mm]
Dabei ist [mm] \left|I_{i}\right|=b_{i}-a_{i}, [/mm] falls [mm] I_{i}=\left[a_{i}, b_{i}\right] [/mm] mit [mm] b_{i} \geq a_{i} [/mm] die elementare Länge.
Darunter kann ich mir jetzt aber nicht wirklich etwas vorstellen - wie komme ich davon abgesehen von der Eindimensionalität zur Zweidimensionalität und Berechne die Menge.
Wenn mir das jemand anhand eines der gegeben Beispiele erläutern könnte, wäre ich sehr dankbar.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt"
|
|
| |
|
Hiho,
> Dabei ist [mm]\left|I_{i}\right|=b_{i}-a_{i},[/mm] falls
> [mm]I_{i}=\left[a_{i}, b_{i}\right][/mm] mit [mm]b_{i} \geq a_{i}[/mm] die elementare Länge.
>
> Darunter kann ich mir jetzt aber nicht wirklich etwas vorstellen
Das Lebesgue-Maß entspricht anschaulich dem, wie du Mengen intuitiv messen würdest.
D.h. im Eindimensionalen misst es die Länge, im zweidimensionalen die Fläche, im dreidimensionalen das Volumen einer Menge.
> wie komme ich davon abgesehen von der Eindimensionalität zur Zweidimensionalität und Berechne die Menge.
Da gibt es mehrere Möglichkeiten, die ihr garantiert hattet… dein ganzes Posting wirkt ein bisschen so, wie: Ich schaue mal die ersten Seiten des Themas an und hoffe damit die Aufgaben lösen zu können…
Vom Ein- zum Mehrdimensionalen kommst du entweder, indem ihr die Definition des Lebesgue-Maßes für höhere Dimensionen eingeführt habt, über die Definition von Produktmaßen oder über die Vervollständigung des Borelmaßes… das kannst aber nur du uns verraten.
Und so wie die Aufgabe gestellt ist, vermute ich dann noch, dass ihr Rechenregeln für das Lebesgue-Maß hergeleitet habt, und die sollst du vermutlich anwenden…
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 13.10.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Gono,
Vielen Dank für deine Antwort.
Nachdem das Lebesgue-Maß im zweidimensionalem anschaulich einer Fläche entspricht müsste also ein äußeres Maß auf [mm] R^n [/mm] gesucht sein, dass auf geometrischen Körpern den geometrische Inhalt als Wert hat (im [mm] R^2 [/mm] also das Produkt der Kantenlängen)?
Nachdem mir die entsprechenden Rechenregeln nicht bekannt sind und diese auch nicht in unserem Skript stehen (ich habe 7 Seiten über das Lebesgue-Maß über Eigenschaften, [mm] L^N-Nullmengen, [/mm] Eindeutigkeit und Abbildungseigenschaften von [mm] L^N [/mm] (aber keine Rechenregeln)?
Über einen Tipp zur konkreten Berechnung wäre ich also äußerst dankbar - nachdem ich mit dem Lebesgue-Maß bisher noch nichts zu tun hatte, bin ich diesbezüglich leider immer noch sehr ratlos :)
LG
Euler123
|
|
|
| |
|
Hiho,
du hattest dann bestimmt Rechenregeln von Maßen im Allgemeinen, die gelten dann aber insbesondere für das Lebesgue-Maß.
> Nachdem das Lebesgue-Maß im zweidimensionalem anschaulich
> einer Fläche entspricht müsste also ein äußeres Maß
> auf [mm]R^n[/mm] gesucht sein, dass auf geometrischen Körpern den
> geometrische Inhalt als Wert hat (im [mm]R^2[/mm] also das Produkt
> der Kantenlängen)?
Für Quader stimmt das…
Ergo: Zerlege deine zu berechnenden Mengen in (disjunkte) Quader, wende die Rechenregeln für Maße für disjunkte Mengen an und bestimme dann das Lebesgue-Maß der Quader als Produkt der Kantenlängen…
Gruß,
Gono
|
|
|
|
