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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mal wieder!
Diesmal habe ich mir gedacht, ich gucke mir zuerst mal die Vorlesungssachen an, bevor ich mich an die Aufgaben mache. Daher also erstmal ein paar Fragen dazu...
Wir haben die folgendes definiert:
[mm] L^p(\Omega) [/mm] = [mm] \{f:\Omega\to\overline R, f messbar, (\integral_{\Omega}{|f|^p d\mu)}^{\bruch{1}{p}} < \infty\} [/mm] für [mm] 1\le [/mm] p < [mm] \infty
[/mm]
(ganz wichtig: hier muss ein geschwungenes L stehen, wie schreibt man das nochmal?)
das verstehe ich soweit noch, aber für [mm] p=\infty [/mm] haben wir definiert:
[mm] L^{\infty}(\Omega)=\{f:\Omega\to\overline R, f\; messbar\; \inf_{\mu(N)=0} {\sup_{\Omega\backslash N} |f(x)|}<\infty\}
[/mm]
(hier muss natürlich wieder ein geschwungenes L stehen...)
So, ich verstehe schon diese Definition nicht, kann man sich das irgendwie anschaulich vorstellen? Und vielleicht auch irgendwie logisch aus der Definition für [mm] p<\infty [/mm] herleiten? (nur logisch, nicht mathematisch)
Dann haben wir die Young'sche Ungleichung bewiesen, und ich verstehe folgendes nicht:
[mm] \log [/mm] a + [mm] \log [/mm] b [mm] \le \log(\bruch{1}{p} a^p+\bruch{1}{p'}b^{p'})
[/mm]
hierbei sind p und p' so, dass [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{p'}=1
[/mm]
Bei diesem Schritt habe ich dahinert stehen: das gilt, wegen der Konkavität des Logarithmus. Nun weiß ich aber nicht so ganz, was das bedeuten soll, und bei den Logarithmenregeln in der Formelsammlung habe ich nichts Passendes gefunden.
So, vielleicht verstehe ich danach auch den Rest dieser komischen Beweise (irgendwie haben wir da nicht dazugeschrieben, was jetzt eh gilt und was wir zeigen wollen, deswegen komme ich da ein bisschen durcheinander) und kann mich dann auch an die Übungsaufgaben setzen.
Viele Grüße
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
P. S.: Ich freue mich auch, wenn mir jemand erstmal nur eine meiner Fragen beantwortet. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Diesmal habe ich mir gedacht, ich gucke mir zuerst mal die
> Vorlesungssachen an, bevor ich mich an die Aufgaben mache.
Sehr vernünftig!! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Trotzdem solltest du (als Tipp von mir!) die Aufgaben besser schon hier reinstellen, damit Leute, die dir helfen wollen (und dazu zähle ich mich  ) genug Zeit haben über die Aufgaben nachzudenken.
Kommst du eigentlich mit meinen Antworten in letzter Zeit nicht mehr so klar? Ich bekomme gar keine Reaktionen mehr von dir darauf. ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") Frag ruhig nach, wenn was unklar ist.
> Daher also erstmal ein paar Fragen dazu...
> Wir haben die folgendes definiert:
> [mm]L^p(\Omega)[/mm] = [mm]\{f:\Omega\to\overline R, f messbar, (\integral_{\Omega}{|f|^p d\mu)}^{\bruch{1}{p}} < \infty\}[/mm]
> für [mm]1\le[/mm] p < [mm]\infty
[/mm]
> (ganz wichtig: hier muss ein geschwungenes L stehen, wie
> schreibt man das nochmal?)
> das verstehe ich soweit noch, aber für [mm]p=\infty[/mm] haben wir
Schreibe es so: [mm]{\cal L}[/mm]
> definiert:
> [mm]L^{\infty}(\Omega)=\{f:\Omega\to\overline R, f\; messbar\; \inf_{\mu(N)=0} {\sup_{\Omega\backslash N} |f(x)|}<\infty\}
[/mm]
>
> (hier muss natürlich wieder ein geschwungenes L
> stehen...)
>
> So, ich verstehe schon diese Definition nicht, kann man
> sich das irgendwie anschaulich vorstellen?
Nun, es können in dieser Menge durchaus Funktionen liegen, die irgendwo den Wert [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] annehmen. Wichtig ist nur, dass sie fast überall endlich sind und es keine Folge [mm] $(\omega_i)_{i \in \IN}$ [/mm] aus [mm] $\Omega$ [/mm] gibt mit [mm] $\lim\limits_{i \to \infty} |f(\omega_i)| \uparrow [/mm] + [mm] \infty$. [/mm] Es muss also eine Nullmenge geben, so dass die Funktionen außerhalb dieser Nullmenge endlich sind und es keine Folge [mm] $(\omega_i)_{i \in \IN}$ [/mm] aus [mm] $\Omega$ [/mm] gibt mit [mm] $\lim\limits_{i \to \infty} |f(\omega_i)| \uparrow [/mm] + [mm] \infty$. [/mm] Außerhalb dieser Nulmenge muss also gelten, dass [mm] $\sup|f(x)|$ [/mm] endlich ist.
> Und vielleicht
> auch irgendwie logisch aus der Definition für [mm]p<\infty[/mm]
> herleiten? (nur logisch, nicht mathematisch)
In einem gewissen Sinne konvergiere" die (Halb-)Normen in den Räumen [mm] ${\cal L}^p$ [/mm] gegen die (Halb-)Norm in [mm] ${\cal L}^{\infty}$, [/mm] aber lassen wir genauere Erklärungen besser, dafür braucht man mehr topologische Kenntnisse.
> Dann haben wir die Young'sche Ungleichung bewiesen, und ich
> verstehe folgendes nicht:
> [mm]\log[/mm] a + [mm]\log[/mm] b [mm]\le \log(\bruch{1}{p} a^p+\bruch{1}{p'}b^{p'})
[/mm]
>
> hierbei sind p und p' so, dass
> [mm]\bruch{1}{p}+\bruch{1}{p'}=1
[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bei diesem Schritt habe ich dahinert stehen: das gilt,
> wegen der Konkavität des Logarithmus. Nun weiß ich aber
> nicht so ganz, was das bedeuten soll, und bei den
> Logarithmenregeln in der Formelsammlung habe ich nichts
> Passendes gefunden.
Eine Funktion $f : I \subset \IR \to \IR$ heißt konkav, wenn für alle $x,y \in I$ und alle $\lambda \in [0,1]$ gilt:
$f(\lambda\cdot x + (1-\lambda) \cdot y) \ge \lambda \cdot f(x) + (1-\lambda) \cdot f(y)$.
Bei uns ist $f(x) = \log (x)$ und die Logarithmusfunktion ist konkav, also haben wir:
$\log(\lambda\cdot x + (1-\lambda) \cdot y) \ge \lambda \cdot \log(x) + (1-\lambda) \cdot \log(y)$.
Wir setzen jetzt $\lambda=\frac{1}{p}$, dann gilt nach Voraussetzung: $\frac{1}{p'} = 1 - \frac{1}{p} = 1 - \lambda$, und damit für $x:=a^p$ und $y=b^{p'}$:
$\log\left(\frac{1}{p} \cdot a^p + \frac{1}{p'} \cdot b^{p'} \right) \ge \frac{1}{p} \cdot \log\left(a^p \right) + \frac{1}{p'} \cdot \log\left(b^{p'}\right)$.
So, und jetzt kommen die Logarithmenregeln erst ins Spiel.
Es gilt:
$\log\left(a^p) = p \cdot \log(a)$,
und damit:
$\log\left(\frac{1}{p} \cdot a^p + \frac{1}{p'} \cdot b^{p'} \right)$
$\ge \frac{1}{p} \cdot \log\left(a^p \right) + \frac{1}{p'} \cdot \log\left(b^{p'}\right)$
$= \frac{1}{p} \cdot p \cdot \log(a) + \frac{1}{p'} \cdot p' \cdot \log(b)$
$= \log(a) + \log(b)$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Immerhin habe ich mir jetzt mal diese Antwort von dir gut durchgelesen. Vielleicht sollte ich weiter so "einfache" Fragen stellen, das baut einen schon auf, wenn man dann mal eine Antwort nahezu komplett versteht...
> Schreibe es so: [mm]{\cal L}[/mm]
Gut, habe ich mir aufgeschrieben. Aber weißt du zufällig auch noch, wofür das steht? Also, ich meine, das ist doch bestimmt eine Abkürzung, und vielleicht kann ich mir die besser merken, wenn ich weiß, was es genau bedeutet. (in der Vorlesung heißt es immer "Script-L", wobei ich da auch anfangs nicht wusste, was gemeint ist...)
>
> > definiert:
> > [mm]L^{\infty}(\Omega)=\{f:\Omega\to\overline R, f\; messbar\; \inf_{\mu(N)=0} {\sup_{\Omega\backslash N} |f(x)|}<\infty\}
[/mm]
>
> Nun, es können in dieser Menge durchaus Funktionen liegen,
> die irgendwo den Wert [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] annehmen.
> Wichtig ist nur, dass sie fast überall endlich sind und es
> keine Folge [mm](\omega_i)_{i \in \IN}[/mm] aus [mm]\Omega[/mm] gibt mit
> [mm]\lim\limits_{i \to \infty} |f(\omega_i)| \uparrow + \infty[/mm].
> Es muss also eine Nullmenge geben, so dass die Funktionen
> außerhalb dieser Nullmenge endlich sind und es keine Folge
> [mm](\omega_i)_{i \in \IN}[/mm] aus [mm]\Omega[/mm] gibt mit [mm]\lim\limits_{i \to \infty} |f(\omega_i)| \uparrow + \infty[/mm].
> Außerhalb dieser Nulmenge muss also gelten, dass [mm]\sup|f(x)|[/mm]
> endlich ist.
Okay, das habe ich hoffentlich verstanden, aber warum dann noch das infimum davon? Oder habe ich was von dir überlesen oder doch nicht richtig verstanden?
> In einem gewissen Sinne konvergiere" die (Halb-)Normen in
> den Räumen [mm]{\cal L}^p[/mm] gegen die (Halb-)Norm in [mm]{\cal L}^{\infty}[/mm],
> aber lassen wir genauere Erklärungen besser, dafür braucht
> man mehr topologische Kenntnisse.
Gut, dann will ich das auch gar nicht genauer wissen!
> Eine Funktion [mm]f : I \subset \IR \to \IR[/mm] heißt konkav, wenn
> für alle [mm]x,y \in I[/mm] und alle [mm]\lambda \in [0,1][/mm] gilt:
>
> [mm]f(\lambda\cdot x + (1-\lambda) \cdot y) \ge \lambda \cdot f(x) + (1-\lambda) \cdot f(y)[/mm].
>
>
> Bei uns ist [mm]f(x) = \log (x)[/mm] und die Logarithmusfunktion ist
> konkav, also haben wir:
>
> [mm]\log(\lambda\cdot x + (1-\lambda) \cdot y) \ge \lambda \cdot \log(x) + (1-\lambda) \cdot \log(y)[/mm].
>
>
> Wir setzen jetzt [mm]\lambda=\frac{1}{p}[/mm], dann gilt nach
> Voraussetzung: [mm]\frac{1}{p'} = 1 - \frac{1}{p} = 1 - \lambda[/mm],
> und damit für [mm]x:=a^p[/mm] und [mm]y=b^{p'}[/mm]:
>
> [mm]\log\left(\frac{1}{p} \cdot a^p + \frac{1}{p'} \cdot b^{p'} \right) \ge \frac{1}{p} \cdot \log\left(a^p \right) + \frac{1}{p'} \cdot \log\left(b^{p'}\right)[/mm].
>
Sorry, dass ich nicht vorher wenigstens nach der Definition von konkav geguckt habe... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") habe das jetzt nochmal nachgeholt - kann man das eigentlich mit der geometrischen Deutung gleichsetzen? Ich glaube schon. Also, dass ich mir vorstelle, dass die Verbindung von zwei Punkten nicht immer auch noch "innerhalb" der Kurve liegt.
Jedenfalls habe ich deine Rechnung auch selber nochmal nachmachen können - war ja nicht schwierig.
>
> So, und jetzt kommen die Logarithmenregeln erst ins
> Spiel.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\log\left(a^p) = p \cdot \log(a)[/mm],
>
> und damit:
>
> [mm]\log\left(\frac{1}{p} \cdot a^p + \frac{1}{p'} \cdot b^{p'} \right)[/mm]
>
>
> [mm]\ge \frac{1}{p} \cdot \log\left(a^p \right) + \frac{1}{p'} \cdot \log\left(b^{p'}\right)[/mm]
>
>
> [mm]= \frac{1}{p} \cdot p \cdot \log(a) + \frac{1}{p'} \cdot p' \cdot \log(b)[/mm]
>
>
> [mm]= \log(a) + \log(b)[/mm].
Danke für's Vorrechnen - ich hoffe, du bist mit dem Formeleditor mittlerweile so vertraut, dass es nicht allzu lange gedauert hat. Denn die Logarithmenregeln hatte ich beim Nachschlagen auch gefunden und sie mir direkt gemerkt. Damit hätte ich es vielleicht sogar alleine geschafft, aber trotzdem danke, werde es mir jetzt direkt dazu schreiben!
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 So 05.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Immerhin habe ich mir jetzt mal diese Antwort von dir gut
> durchgelesen. Vielleicht sollte ich weiter so "einfache"
> Fragen stellen, das baut einen schon auf, wenn man dann mal
> eine Antwort nahezu komplett versteht...
Schön, das freut mich.
> > Schreibe es so: [mm]{\cal L}[/mm]
> Gut, habe ich mir
> aufgeschrieben. Aber weißt du zufällig auch noch, wofür das
> steht?
Das sind kalligraphische Schriftzeichen.
> Okay, das habe ich hoffentlich verstanden, aber warum dann
> noch das infimum davon? Oder habe ich was von dir überlesen
> oder doch nicht richtig verstanden?
Wie sollte man es sonst definieren? Man könnte auch sagen: Es gibt eine Nullmenge, so dass... endlich ist. Aber kürzer (und eleganter) ist es doch zu sagen, dass das Infimum endlich ist, denn das bedeutet ja gerade, dass es mindestens eine Nullmenge gibt, so dass... endlich ist (für andere Nullmengen kann der Wert unendlich sein, aber es gibt eben mindestens eine, so dass er endlich ist; also ist das Infimum endlich).
> Sorry, dass ich nicht vorher wenigstens nach der Definition
> von konkav geguckt habe... habe das jetzt nochmal
> nachgeholt - kann man das eigentlich mit der geometrischen
> Deutung gleichsetzen? Ich glaube schon. Also, dass ich mir
> vorstelle, dass die Verbindung von zwei Punkten nicht immer
> auch noch "innerhalb" der Kurve liegt.
Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in der Mitte zwischen je zwei Werten x,y liegt oberhalb der Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x und y.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
So, damit du dich nicht wieder beschwerst, dass du keine Rückmeldungen von mir erhältst...
> > > Schreibe es so: [mm]{\cal L}[/mm]
> > Gut, habe
> ich mir
> > aufgeschrieben. Aber weißt du zufällig auch noch, wofür
> das
> > steht?
>
> Das sind kalligraphische Schriftzeichen.
Na also! So werde ich das bestimmt nicht wieder vergessen, schreibe nämlich ab und zu selber ein bisschen Kalligraphie (oder nennt man das schon zeichnen?)
> > Okay, das habe ich hoffentlich verstanden, aber warum
> dann
> > noch das infimum davon? Oder habe ich was von dir
> überlesen
> > oder doch nicht richtig verstanden?
>
> Wie sollte man es sonst definieren? Man könnte auch sagen:
> Es gibt eine Nullmenge, so dass... endlich ist. Aber kürzer
> (und eleganter) ist es doch zu sagen, dass das Infimum
> endlich ist, denn das bedeutet ja gerade, dass es
> mindestens eine Nullmenge gibt, so dass... endlich ist (für
> andere Nullmengen kann der Wert unendlich sein, aber es
> gibt eben mindestens eine, so dass er endlich ist; also ist
> das Infimum endlich).
Stimmt, das leuchtet ein.
Und - wieder was gelernt.
> Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in
> der Mitte zwischen je zwei Werten x,y liegt oberhalb der
> Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x
> und y.
Ja, sowas meinte ich wohl auch.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo doch nochmal!
Also, wenn ich jetzt gezeigt habe, dass gilt:
[mm] \log [/mm] a + [mm] \log [/mm] b [mm] \le \log(\bruch{1}{p} a^p [/mm] + [mm] \bruch{1}{p'} b^{p'}) [/mm]
folgt dann daraus direkt dass
a*b [mm] \le \bruch{1}{p} a^p [/mm] + [mm] \bruch{1}{p'} b^{p'}?
[/mm]
Ich hab' da noch so ne komische Zwischenrechnung stehen, die irgendwas mit [mm] (a+b)^p \le 2^{p-1} [/mm] *... zu tun hat, und ne Ableitung kommt auch noch drin vor. Das konnte ich glaube ich nachvollziehen, ich weiß nur nicht, was das jetzt mit dem Beweis der Ungleichung zu tun hat...
Naja, vielleicht ist es auch nicht ganz so wichtig.
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 So 05.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> > Also, wenn ich jetzt gezeigt habe, dass gilt:
> > [mm]\log[/mm] a + [mm]\log[/mm] b [mm]\le \log(\bruch{1}{p} a^p[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{p'} b^{p'})[/mm]
> >
> > folgt dann daraus direkt dass
> > a*b [mm]\le \bruch{1}{p} a^p[/mm] + [mm]\bruch{1}{p'} b^{p'}?
[/mm]
>
>
> Ja, denn wegen [mm]\log(a) + \log(b) = \log(ab)[/mm] folgt
> zunächst:
>
> [mm]\log(ab) \le \log(\bruch{1}{p} a^p + \bruch{1}{p'} b^{p'})[/mm],
Danke - das wusste ich sogar noch aus Schulzeiten.
> und daraus dann wegen der Monotonie des Logarithmus
das hatte mir gefehlt... Das heißt, wenn ich da sonst nichts mehr stehen gehabt hätte, hätte ich mich wahrscheinlich damit zufrieden gegeben. Also war es gar nicht so schwierig, und wahrscheinlich habe ich es deswegen auch nicht unter dem Stichwort Young'sche Ungleichung im Buch gefunden, weil es so einfach ist, dass es wahrscheinlich irgendwo nur als Korollar oder Bemerkung oder so steht.
> [mm]ab \le \bruch{1}{p} a^p + \bruch{1}{p'} b^{p'}[/mm].
>
> Das aber ist die Young'sche Ungleichung.
Gut, damit wäre das dann geklärt. Danke.
> > Ich hab'
> > da noch so ne komische Zwischenrechnung stehen, die
> > irgendwas mit [mm](a+b)^p \le 2^{p-1}[/mm] *... zu tun hat, und ne
>
> > Ableitung kommt auch noch drin vor.
>
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
>
> Das müsstest du mir mal genauer aufschreiben... Da kann ich
> so nichts mit anfangen.
Nein, ich denke, das ist nicht so wichtig. Das war übrigens auch eine Vorlesung, die der Assistent gehalten hat, und der meinte an irgendeiner Stelle (ich weiß nicht genau, ob es bei dieser oder einer der nächsten Ungleichungen wäre), er wäre da schon mal böse auf die Nase gefallen, als er das beweisen wollte, also vielleicht wollte er es uns hier nur irgendwie nochmal klarer machen... Aber ich glaube, das ist wirklich nicht so wichtig, die Ungleichung ist doch nun bewiesen!
Viele Grüße
Christiane
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