Lebesgue-integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] Lebesgue-integrierbar. Beweisen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{n^{2}}{f(x) dx}= [/mm] 0 gilt. |
Hallo,
ich habe es so angefangen :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{n^{2}}{f(x) dx}=
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\IR}^{}{f(x)*X_[n,n^{2}] dx}
[/mm]
(wobei X eine charakteristische Funktion ist).
Ich bin mir aber nicht sicher , dass ich es so schreiben kann.
Kann ich vielleicht das so wegen dem ![[]](/images/popup.gif)
Ana IV.pdf / Korollar 4.11(vorletztes Blatt) schreiben ?
Wenn die Gleichung stimmt, wie soll man weiter bei der Aufgabe vorgehen?
Gruß
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo ,
ist f auf [mm] [n,n^{2}] [/mm] Riemann-integrierbar? (wenn ja , warum?)
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ,
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> ist f auf [mm][n,n^{2}][/mm] Riemann-integrierbar?
Nein, das muß nicht sein
FRED
> (wenn ja ,
> warum?)
>
> Gruß
> Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] Lebesque-integrierbar. Beweisen Sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{n^{2}}{f(x) dx}=[/mm]
> 0 gilt.
> Hallo,
>
> ich habe es so angefangen :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{n^{2}}{f(x) dx}=[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\IR}^{}{f(x)*X_[n,n^{2}] dx}[/mm]
>
> (wobei X eine charakteristische Funktion ist).
>
> Ich bin mir aber nicht sicher , dass ich es so schreiben
> kann.
das kannst Du so schreiben. Dazu siehe z.B. die Definition des Lebesgue-Integrals oder der Notation [mm] $\int_{a}^b [/mm] f$. Da [mm] $\{a\},\{b\}$ [/mm] Lebesguesche Nullmengen sind (abzählbare Mengen sind stets Lebesguesche Nullmengen!), macht es auch keinen Unterschied, ob Du
[mm] $$\int_a^b f=\int_{\IR}f*\chi_{[a,b]}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\int_a^b f=\int_{\IR}f*\chi_{(a,b]}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\int_a^b f=\int_{\IR}f*\chi_{(a,b)}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\int_a^b f=\int_{\IR}f*\chi_{[a,b)}$$
[/mm]
schreibst. Alle diese Gleichungen gelten!
> Kann ich vielleicht das so wegen dem
>
> Ana IV.pdf / Korollar 4.11(vorletztes Blatt) schreiben
> ?
Das brauchst Du dazu nicht, und ich frage mich auch, wo und wie Du das oben überhaupt verwenden willst?
> Wenn die Gleichung stimmt, wie soll man weiter bei der
> Aufgabe vorgehen?
Ich weiß gerade nicht, ob das, was Du da anwenden willst, überhaupt zielführend ist.
Aber: Bei Lebesgue-Integralen fallen einem ja oft so Sachen wie dominierte Konvergenz, Beppo-Levi... oder sowas ein. Und wenn man einen solchen Satz nicht direkt auf [mm] $f\,$ [/mm] anwenden kann, dann betrachtet man vielleicht mal [mm] $f^{+}=\text{max}\{0,f\}$ [/mm] (argumentweise definiert) und [mm] $f^{-}=-\text{min}\{f,0\}=\text{max}\{-f,0\}=(-f)^{+}\,.$
[/mm]
Und Dein Ansatz könnte dann über betrachten von Folgen der Art [mm] $(f^{\pm}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $f_n^{\pm}=f^{\pm}*\chi_{[n,n^2]}$ [/mm] vielleicht auch zielführend werden.
Sollte sich da überhaupt kein Weg finden lassen, dann versuch' es vielleicht mal über einen Widerspruchsbeweis (auch da könnte dann evtl. die Zerlegung von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $f=f^{+}-f^{-}$ [/mm] helfen; elementare und wichtige Kenntnisse sind sicher auch:
$f [mm] \in L^1 \gdw f^{+}, f^{-} \in L^1 \gdw [/mm] |f| [mm] \in L^1$, [/mm] welche vielleicht auch Verwendung finden könnten...)
P.S.:
Eine Strategie, den Beweis in einzelnen Schritten zu führen, wäre sicherlich jedenfalls:
1. Zunächst betrachten wir alle [mm] $L^1$-Funktionen [/mm] $f: [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}\,$ [/mm] (also alle [mm] $L^1$-Funktionen, [/mm] die nur nichtnegative Werte annehmen). Zeige die Behauptung für alle solche Funktionen.
2. Wegen [mm] $f=f^{+}-f^{-}$ [/mm] und $f [mm] \in L^1 \gdw (f^{+}\in L^1 \wedge f^{-} \in L^1)$ [/mm] (insbesondere gilt [mm] "$\Rightarrow$") [/mm] folgt mit
[mm] $$\int_{n}^{n^2}f=\int_{n}^{n^2}f^{+}-\int_{n}^{n^2}f^-\,,$$ [/mm]
durch Anwendung von 1. auf [mm] $f^{+}$ [/mm] und [mm] $f^{-}$ [/mm] dann die Behauptung für beliebiges $f [mm] \in L^1\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Marcel ,
Danke Dir für die Hinweise !
Ich werde das ganze genauer anschauen.
Gruß
Igor
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Sei [mm] $f_n(x)=f(x)\chi_{[n,n^2]}$. [/mm] Dann gilt [mm] $f_n(x)\to [/mm] 0$ mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] für alle x, und [mm] $|f_n(x)|\leq [/mm] |f(x)|$ für alle $n$. Also folgt die Behauptung aus dem Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Di 08.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f_n(x)=f(x)\chi_{[n,n^2]}[/mm]. Dann gilt [mm]f_n(x)\to 0[/mm] mit
> [mm]n\to\infty[/mm] für alle x, und [mm]|f_n(x)|\leq |f(x)|[/mm] für alle
> [mm]n[/mm]. Also folgt die Behauptung aus dem Satz von Lebesgue
> über dominierte Konvergenz.
das sieht doch sehr gut aus. Eine kleine Bemerkung dazu:
Es ist hier zu beachten, dass $f [mm] \in L^1 \gdw [/mm] |f| [mm] \in L^1$ [/mm] (insbesondere $f [mm] \in L^1 \Rightarrow [/mm] |f| [mm] \in L^1$). [/mm] Denn [mm] $|f|\,$ [/mm] ist hier ja die Majorante, und wichtig ist, dass diese Funktion (Lebesgue-)integrierbar (auf [mm] $\Omega=\IR$) [/mm] ist.
Beste Grüße,
Marcel
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