Lebesgue-integrierbar Konver. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 07.07.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | a) Sei f: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] stetig und Lebesgue-integrierbar über ganz [mm] \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt
[mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{|x|\le R}^{}{f(x) dx}.
[/mm]
b) Für welche [mm] \alpha [/mm] > 0 ist die Funktion f(t) = [mm] t^{-\alpha} [/mm] in (0,1) und [mm] (1,\infty) [/mm] Lebesgue-integrierbar? |
Hallo,
bei dieser Aufgabe könnte ich Hilfe gebrauchen.
Um etwas über die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwertbildung zu sagen, muss ich hier die Konvergensätz von B. Levi und Lebesgue anwenden.
Das Problem ist, wie ich meine Voraussetzungen finde, damit ich diese überhaupt anwenden kann.
Für b) würde ich den Satz anwenden, dass jede stetige, nicht negative Funktion auf offenen Intervallen genau dann Lebesgue-integrierbar ist, wenn sie uneigentlich Riemann-integrierbar ist.
Aber was muss ich jetzt zeigen?
Wenn [mm] \integral_{0}^{1}{t^{-\alpha} dx} [/mm] existiert, dann ist f(t) Lebesgue-integrierbar? Oder wie muss man das verstehen?
Danke für die Hilfe.
Gruß
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Hiho,
> Um etwas über die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwertbildung zu sagen, muss ich hier die Konvergensätz von B. Levi und Lebesgue anwenden.
Lebesgue wäre hier besser.
> Das Problem ist, wie ich meine Voraussetzungen finde, damit ich diese überhaupt anwenden kann.
Ja was ist denn gegeben?
Dann hast du deine Voraussetzungen 
Ein Tipp noch für die a), damit du das besser siehst:
Für eine beliebige meßbare Menge A gilt:
[mm] $\integral_A\,f(x)\,dx [/mm] = [mm] \integral_{\IR^n}\,f(x)*1_A\,dx$ [/mm] sowie [mm] $|f*1_A| \le [/mm] |f|$
> Wenn [mm]\integral_{0}^{1}{t^{-\alpha} dx}[/mm] existiert, dann ist f(t) Lebesgue-integrierbar?
So siehts aus.
Gruß,
Gono.
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