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Lebesgue Messbarkeit: Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:29 Fr 12.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
1.) z.z., dass für 2 Lebesgue-m.b. Fkt. f und g die Menge [mm] \{x:f(x) \not= g(x)\} [/mm] in [mm] \mathcal{L}(\IR) [/mm] liegt.

2.)Beispiel einer Lebesgue-m.b. Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] sodass
keine stetige Funktion g: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] existiert mit [mm] \mu_L( \{x:f(x) \not= g(x)\})=0. [/mm] Begründung.





Zur 1.)

Falls f(x) [mm] \not= [/mm] g(x): [mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IQ [/mm] mit f(x)<r<g(x) [mm] \vee [/mm] f(x)>r>g(x).
Sei dazu [mm] X=\bigcup_{r \in \IQ}\underbrace{\{x: g(x) X ist damit als abz. Vereinigung wieder messbar.
Da X=Y (Nachweis? Wenn ja Wie?) gilt, folgt die Leb.-Messbarkeit für
[mm] \{x:g(x)f(x)\}, [/mm] woraus die Behauptung folgt.

zur 2.)
Bekannt wäre mir nur der Fall, dass [mm] \underline{eine} [/mm] stetige Fkt existiert, zum Beispiel:

[mm] f(x)=\begin{cases} 1, x \in \IQ \\ e^x, x \notin \IQ \end{cases} [/mm]
[mm] g(x)=e^x [/mm]
mit Nullmenge [mm] N=\{f \not= g\}=\IQ [/mm]
mit [mm] \mu_L(N)=0. [/mm]

Die Formulierung ist mir hier auch etwas wage. Man soll also eine
Funktion f finden zu der jede stetige Fkt. g zu [mm] \mu_L(\{x:f(x) \not= g(x)\})>0 [/mm] führt. D.h. die Menge der x muss schonmal überabzählbar sein, da
dass Lebesgue-Maß vorliegt.

Ich schlussfolgere hieraus, dass f vermutlich keine stetige Funktion sein wird,
da andernfalls immer einfach die gleiche Funktion g gewählt werden könnte.

Ich würde nun bspw.
[mm] f(x)=\begin{cases}0, x \in (\IR\cap[0,0.5])\setminus \IQ\\ 1, x \in (\IR\cap[0.5,1.0]) \setminus\IQ \\2, x \in \IQ \end{cases} [/mm]
setzen, wodurch ich (zumindest) keine
stetige Funktion an der Sprungstelle bei 0.5 finden würde,
d.h. bei g(x)=0
wäre [mm] \mu_L((\IR\cap [/mm] [0.5,1.0]) [mm] \setminus\IQ)=\mu_L(\{x:f(x) \not= g(x)\})>0. [/mm]

Welche Fehler begehe ich in der gesamten Aufgabe?

(Edit: Bereits Fehler des Definitionsbereiches geändert, für Lösungsansatz allerdings erstmal unrelevant; auch habe ich bereits festgestellt, dass
der 3.Fall nicht wirklich mehr Erkenntnis bringt)

Gruß


        
Bezug
Lebesgue Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:06 Sa 13.06.2020
Autor: TS85

Die Frage hat sich mittlerweile erledigt.

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